Пара - напряженияи деформации.
Исходя из уравнения (28) одной переменной будет тензор деформаций как реакция материала на введение напряжений .
Пара – температура и энтропия.
Реакцией материала на введение абсолютной температуры , как скалярной величины, задающей меру нагретости тела, будет введение плотности скорости притока энтропии извне как равной плотности скорости притока тепла извне с учетом температуры как интегрирующего множителя:
(29) |
Второе начало термодинамики.
Второй закон термодинамики постулирует соотношение (29), а также условие
Где - плотность производства энтропии внутри системы, участвующая в задании функции состояния системы – энтропии
(30) |
где - приток энтропии извне, связан с притоком массы или тепла к системе, а
- производство энтропии внутри системы. То есть, можно записать равенства
(31) |
Из условий и следует оценка
(32) |
Таким образом, рассматривая часть притока энергии системы в виде тепловой энергии, мы заменяем скорость притока тепла температурой и плотностью скорости изменения энтропии .
Выразим из уравнения притока тепла (27)
(33) |
с учетом неравенства (32) получаем неравенство диссипации или
Неравенство Клаузиуса-Дюгема
(34) |
Из неравенства диссипации (неравенства К.Д.) следует, что вторым параметром состояния системы, переменной для внутренней энергии, будет плотность энтропии .
|
|
(35) |
Далее до определенного момента, для простоты, будем полагать отсутствие нетепловых источников энергии
(36) |
Тогда неравенство К.Д. будет проще
(37) |
Свободная энергия
Удобно выбрать другой термодинамический потенциал – свободная энергия (свободная энергия Гельмгольца).
, где – плотность свободной энергии | (38) |
Для него параметрами состояния системы являются температура и деформация
(39) |
Тогда неравенство К.Д. (37) сводится к виду
(40) |
Группируя множите при скоростях изменения параметров состояния
(41) |
Получаем, что при условии произвольности знаков скорости изменения каждого из параметров состояния обязаны выполняться следующие равенства, являющиеся определяющими соотношениями для нашей среды:
при | (42) |
Лекция 3. Нелинейная теория упругости.
Энергетические пары.
Только в случае симметричного тензора напряжений плотность мощности работы внутренних поверхностных сил с обратным знаком равна свертке тензора напряжений с тензором скоростей деформаций , который только в случае малых деформаций равен полной производной по времени от тензора малых деформаций :
(43) |
В более общем случае еще предстоит представить свертку в виде пары тензоров , чтобы выполнялось равенство для плотности мощности работы внутренних поверхностных сил:
|
|
(44) |
Пара тензоров и называется [Ошибка!Источник ссылки не найден.]энергетической парой, связанной соотношением
в актуальной конфигурации или в отсчетной.
Рассмотрим методику получения энергетической пары для равенства Ошибка! Источник ссылки не найден..
Рассмотрим закон движения частиц среды в текущий, актуальный момент времени :
, , и обратный , , | (45) |
где координаты частицы в начальный момент времени, в отсчетной конфигурации.
Воспользуемся двумя утверждениями.
Первое:
, так как | (46) |
, откуда | (47) |
, | (48) |
Второе:
, так как | (49) |
, с учетом (46), откуда, домножив(49)на и с обеих сторон и, заменив затем pнаk, m на i, получаем: | (50) |
, | (51) |
На основании (51) из (44) мы получаем
(52) |
Где
тензор напряжений Пиолы, тензор-градиент деформаций. | (53) |
Смысл тензора напряжений Пиолы.
Рассмотрим объем параллелепипеда, натянутого на тройку векторов в начальной (отсчетной) конфигурации и в текущей (актуальной) конфигурации на тройке векторов
, | (54) |
, , где - тензор Леви-Чивиты в ортонормированном базисе. | (55) |
, | (56) |
Домножим(56) на , получим
|
|
, | (57) |
Откуда
, | (58) |
Рассмотрим силу в текущем (актуальном) состоянии усилие на площадке
(59) | |
Подставим соотношение (58) и получим | (60) |
То есть тензор Пиолы в отсчетной конфигурации играет ту же роль, что и тензор Коши в актуальной.
Симметричные тензоры деформации.
Тензор-градиент деформаций (тензор дисторсии) несимметричен. Если мы изначально воспользуемся симметрией тензора напряжений, то можно получить симметричный тензор деформации исходя из представления плотности мощности работы внутренних сил в виде
(61) |
Отсчетная конфигурация.
Воспользуемся соотношением (51) и получим из (44)
(62) |
Домножив(72)на получим
(63) |
Откуда выражаем тензор скоростей деформаций и получаем
(64) |
Теперь плотность мощности поверхностных сил можно представить в виде
(65) |
Где
тензор напряжений Кирхгофа, тензор деформаций Грина | (66) |
Актуальная конфигурация.
Аналогично отсчетной конфигурации, но используя уже не (51), а уравнение (48) получим из (44)
(67) |
Используя аналогичные приемы, получаем
(68) |
Теперь плотность мощности поверхностных сил можно представить в виде
|
|
(69) |
Где
тензор напряжений в актуальной конфигурации, тензор деформаций Альманси | (70) |
В изотермическом случае мы имеем изОшибка! Источник ссылки не найден.соотношение, связывающее напряжения и деформации
при | (71) |
В случае, аргумент этого выражения представляет собой симметричный тензор второго ранга, то возможно существенное упрощение этой произвольной зависимости.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 298; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!