Лекция 4. Нелинейная теория упругости.
Теорема Гамильтона-Кэлли.
Любая степень симметричного тензора второго ранга , определенная в виде
(72) |
представляется в виде линейной комбинации второй, первой степени этого тензора и единичного тензора
(73) |
Лекция5. Линейная теория упругости.
Лекция 6. Криволинейные системы координат.
Символы Кристоффеля. Дифференцирование вектора и тензора.
В криволинейных координатах при дифференцировании вектора перемещений дифференцируется и базисный вектор:
(74) |
Производная базисного вектора по координате представляет собой вектор, определяемый через символы Кристоффеля второго рода
(75) |
В евклидовом пространстве символ Кристоффеля второго рода симметричен по двум нижним индексам и выражается с помощью компонент метрического тензора
(76) |
Таким образом, в криволинейных координатах производная по контравариантной координате вектора перемещений выражается так
(77) |
где оператор ковариантного дифференцирования набла для контравариантных компонент вектора определен следующим образом
(78) |
Из условия следует выражение ковариантной производной от контравариантного базисного вектора
(79) |
Откуда
(80) |
И мы получаем оператор ковариантного дифференцирования набла для ковариантных компонент вектора перемещения:
|
|
(81) |
где оператор ковариантного дифференцирования набладля ковариантных компонентвектора определен следующим образом
(82) |
Выясним теперь, как зависят компоненты тензора деформации от компонент вектора перемещений в криволинейных системах координат.
В общем случае тензор деформации вводится как разница квадратов длин малых отрезков в актуальный и отсчетный моменты
(83) |
То есть, вводя тензор деформаций как половины разницы метрических тензоров в актуальном и отсчетным состоянии, мы можем получить его выражение через вектор перемещений, задавая базисные вектора через перемещения.
(84) | |
Тогда получаем cучетом предыдущих формул | (85) |
Что в случае малых деформаций дает кинематическое соотношение
(86) |
Теперь продифференцируем симметричный тензор второго ранга.
(87) |
где оператор ковариантного дифференцирования набла для контравариантных компонент тензора определим следующим равенством
(88) |
Цилиндрическая система координат
Рассмотри первую популярную криволинейную систему координат – Цилиндрическую.
Введем следующие переменные:
, | (89) |
Ковариантные компоненты метрического тензора равны нулю, кроме:
|
|
(90) |
Контравариантные компоненты метрического тензора удовлетворяют равенству и также равны нулю, кроме:
(91) |
Значение символов Кристоффеля второго рода в цилиндрической системе координат согласно соотношениям (76), (90) и (91) получаем следующие
остальные равны нулю. | (92) |
Таким образом, кинематические соотношения для компонент тензора малых деформаций (86) с учетом (92) дает
|
в цилиндрической системе координат будут иметь вид
(94) |
При замене обозначений получаем
Теперь рассмотрим сам тензор .
(95) |
Где
(96) |
Теперь получим окончательные соотношения
(97) |
Рассмотрим теперь уравнения равновесия.
(98) |
Покомпонентно
(99) |
Положим независимость от второй и третьей координаты, тогда
(100) |
Лекция 7. Одномерные задачи.
Одномерная задача является самым простым вариантом задач в теории упругости. Но в этой простоте заключается и сложность. Как свести реальную задачу в трехмерном мире к одномерной? Необходимо рассмотреть случай, когда две размерности по сравнению с третьей не существенны. Классическим примером являются задачи вращения диска, а также раздувания сферического сосуда или цилиндрической трубы внутренним давлением. Но во всех этих случаях мы имеем дело уже не с декартовыми, а с цилиндрическими или сферическими, а значит – криволинейными системами координат. То есть необходимо уточнить как вид зависимости компонент тензора деформаций от компонент вектора перемещений, так и вид уравнений равновесия в выбранной криволинейной системе координат.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 859; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!