Математическая модель и ее составляющие
В общем случае математическая модель – это специальная запись постановки и условия решения с использованием понятий математики и математической символики. Для математической модели должны быть определены ее базовые компоненты:
1) охарактеризованные переменные, фиксированный набор которых, представляет собой отдельное решение;
2) набор ограничивающих условий, исключающих из рассмотрения отдельные решения по причине их физической или логической невозможности;
3) оценочная функция, позволяющая количественно сравнить различные решения и выбирать лучшие из них.
Характеристика переменных.
Основным свойством переменной является множество принимаемых ее значений. В зависимости от свойств этого множества используется три типа переменных:
1) R – действительные переменные, множество значений которых имеют мощность континиума, т.е.
R+ - множество положительных чисел [0; 
]
2) Z – целочисленные переменные, множество которых имеет целое значение и конечную или счетную мощность. Данные переменные являются дискретными.
3) В – булевы переменные
Принимает одно из двух значений ноль или 1. В={0;1}
Характеристика ограничений
Любое решение задачи является своеобразной альтернативой, поэтому набор ограничивающих условий называется множеством допустимых альтернатив. В зависимости от знака, ограничения могут быть равенствами или неравенствами. В случае равенства ограничивающая функция может быть записана: g (x, y, z)=a. В случае неравенства g (x, y, z) £ (≥)a. Первая часть ограничения представляет собой вещественное число. В зависимости от вида функции ограничения классифицируются на линейные и нелинейные. нелинейные в свою очередь на выпуклые и невыпуклые.
|
|
|
Обозначение всего набора допустимых альтернатив Db.
Характеристика целевой функции
Целевая функция может представлять собой математическую функцию, функционал или оператор. Так же как и ограничения функция может иметь линейный и не линейный характер. В зависимости от количества целевой функции рассматривается два основных типа задач: однокритериальные и многокритериальные. Задача формулируется как задача минимизации или максимизации.
F(x, y, z)→max (min); x, y, zÎDb
Основные подходы к решению задач оптимизации
В общем случае под оптимальным значением целевой функции понимается такой набор переменных x*, y*, z* ÎDb, при котором функция принимает max или min значение, т.е. проблема поиска сводиться к нахождению экстремума. В связи с этим возникает две теоретические проблемы:
1) проблема существования оптимальных значений;
2) проблема единственности оптимального значения.
|
|
|
Проблема существования оптимального решения рассматривается для типовых задач конкретной математической постановки и имеет два подхода к решению задачи: формальный и неформальный. Формальный основан на теореме существования, главный вывод которой следующий: если функция непрерывна, а множество допустимых альтернатив замкнуто, то оптимальное решение есть. Неформальный подход предполагает установление физической или логической осуществимости некоторых из возможных решений, т.е. в контексте содержательной постановки задачи выполняется эвристический анализ допустимости некоторых решений. Если анализ успешен, то можно приступать к поиску решений.
Вторая проблема, проблема единственности оптимального решения также имеет формальный и неформальный поход. Главный вывод теорем единственности формального подхода заключается в том, что если множество допустимых альтернатив выпукла или вогнута и целевая функция выпукла или вогнута, то существует единственное решение.
Неформальный подход предполагает наличие нескольких решений различными способами и выбор из них наилучшего. Если полученные решения совпадают, то это является неформальным доказательством единственности решения. При решении большинства задач полученные значения целевой функции могут различаться, что говорит о приближенном характере методов. В том случае когда решение едино для всех методов с большой долей вероятности можно говорить о глобально-оптимальном значении (точном решении). В том случае когда методы дают разные решения речь идет о локально-оптимальном значении. Степень точности глобально-оптимального и локально-оптимального значения обычно определяется сложностью задач.
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 528; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!