Практическая работа №11

«Решение задач по определению критической силы по формуле Эйлера»

Цель работы: знать условие устойчивости сжатых стержней, формулы Эйлера для определения критической силы, уметь выполнять проверочные расчеты на устойчивость сжатых стержней.

Теоретическое обоснование.

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил.

Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой силы и в сравнении с ней силы действующей:

где - действующая сжимающая сила;

- допускаемая сжимающая сила. обеспечивает некоторый запас устойчивости;

- критическая сила;

- допускаемый коэффициент запаса устойчивости:

для сталей для чугуна для дерева

По формуле Л. Эйлера определяется критическая сила

где - модуль упругости;

- минимальный осевой момент инерции стержня;

- длина стержня.

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу входит минимальный из осевых моментов инерции сечения.

Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учитывающим форму потери устойчивости в каждом случае: , где - коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня.

Формула для расчета критической силы для всех случаях

Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответствующее критической силе. Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

где - напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть минимальным радиусом инерции :

;

Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде

Отношение носит название гибкости стержня . Чем больше гибкость, тем меньше напряжение. Гибкость стержня - величина безразмерная.

;

Гибкость не зависит от материала, а определяется только геометрией стержня.

Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций. Критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала.

Предел упругости при расчетах можно заменить пределом пропорциональности ()

Откуда гибкость стержня , - предельная гибкость.

предельная гибкость зависит от материала стержня.

В случае, если в материале стержня возникают остаточные деформации. Поскольку в реальных конструкциях могут возникать пластические деформации. не приводящие к потере работоспособности, созданы эмпирические формулы для расчета в этих формулах.

Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского. Критическое напряжение определяется по формуле , где - коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.

На рисунке представлена зависимость критического напряжения от гибкости стержня.

Для стержней малой гибкости проводится расчет на сжатие .

Для стержней средней гибкости расчет проводят по формуле Ясинского

Для стержней боль шей гибкости расчет проводят по формуле Эйлера .

Критическую силу при расчете критического напряжения по формуле Ясинского можно определять как

Условие устойчивости .

Расчеты на устойчивость

В зависимости от цели различают три вида расчетов на устойчивость:

1) проверочный расчет, когда определяют коэффициент запаса устойчивости и сравнивают полученное значение с допускаемым :

где - действующая нагрузка;

2) определение допускаемой нагрузки :

3) проектный расчет, когда определяют требуемое значение минимального момента инерции поперечного сечения стержня:

после чего находят гибкость и сравнивают с предельной.

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести по форме к расчету на простое сжатие. При расчете конструкций часто применяют следующую формулу:

где - основное допускаемое напряжение на сжатие;

- коэффициент продольного изгиба; зависит от гибкости стержня, его материала.

Расчеты показывают, что наиболее выгодными при работе стержней на сжатие являются кольцевые и коробчатые тонкостенные сечения. Доказано, что замена сжатых стержней в виде уголков и двутавров трубчатыми стержнями дает экономию в материале до 20…40%.

Примеры выполнения.

Задача

Проверить на устойчивость стойку, если , материал стойки Ст3, ,

мм.

Решение

Для заданного закрепления концов стойки Проверим применимость формулы Эйлера. Для круга ;

откуда м

Определяем гибкость стойки

, следовательно, формула Эйлера применима.

Вычислим критическую силу:

кН

Определяем коэффициент запаса устойчивости

следовательно, устойчивость стойки обеспечена.

Задача

Рассчитать гибкость стержня. Круглый стержень диаметром 20 мм, µ=0,5.

Решение

Гибкость стержня определяется по формуле

определяем минимальный радиус инерции для круга

Подставив выражения

получим

Гибкость стержня будет равна

Задача

Как изменится критическая сила для стержня, если изменить способ закрепления концов? сравнить представленные схемы.

Решение

Критическая сила увеличится в 4 раза

Задача

Определить допустимую нагрузку для сжатой стойки из стали Ст3, при условии

l=4м, D=60, требуемый коэффициент запаса устойчивости 2,5.

Решение

Определяем момент инерции кольцевого сечения. Для кольцевого сечения любая центральная ось является главной и все центральные моменты инерции равны между собой:

мм⁴

Площадь поперечного сечения стойки

мм²

Минимальный радиус инерции поперечного сечения стойки

мм

Для заданного способа закрепления концов коэффициент приведения длины µ=0,7.

Определяем фактическую гибкость стойки

Находим предельную гибкость стойки, принимая для Ст3 модуль продольной упругости МПа и предел пропорциональности материала стержня 200 МПа.

Условие применимости формулы Эйлера В данном случае

Так как фактическая гибкость стержня больше предельной, то критическую силу определяем по формуле Эйлера:

Если гибкость стойки окажется меньше предельной гибкости, то формулу Эйлера для определения критической силы применять нельзя. В этом случае она может быть определена по эмпирической формуле Ясинского

Условие устойчивости

Контрольные вопросы

1. Какое равновесие называется устойчивым?

2. Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость?

3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критической?

4. Назовите входящие величины и их единицы измерения для формулы Эйлера.

5. Что называют гибкостью стержня, кокой смысл заложен в этом названии? Назовите категории стержней в зависимости от гибкости.

6. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

7. При каких условиях можно использовать формулу Эйлера для расчета критической силы?
8. В чем заключается расчет сжатого стержня на устойчивость?

9. Чем отличается допускаемая сжимающая сила от критической?

Дата добавления: 2015-12-19; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!