Преобразования Лоренца.
Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).
Рассмотрим 2 инерциальные системы отсчета К и К’.
К Þ x, y, z, t, K’ Þ x’, y’, z’, t’. Исходя из однородности пространства и времени – связь линейная. Плоскость у’ = 0 совпадает с плоскостью у = 0, z’ = 0 Þ z = 0. Следовательно, координаты у и у’ Þ в 0 одновременно. Þ у = αу’, α = const (линейность уравнения). Из равноправия систем К и К’ Þ y’ = αy.
yy’ = α2yy’, α2 = 1, α = ± 1. Для одинаково направленных осей α = ± 1 Þ y = y’ или y’ = y. Аналогично, для z Þ z = z’ или z’ = z; y,z ≠ f(x’, t’) Þ x’,t’ ≠ f(y,z). Аналогично, x, t ≠ f(y’, z’), т.е. x, t – линейные функции от x’, t’. Из рисунка – т.О Þ х = 0 (К), x’ = -vt’ (K’). x’ + vt’ должно обращаться в 0 одновременно с х Þ x = γ(x’ +vt’). Аналогично: x’ = 0(K’), x = vt(K), x’ = γ(x – vt), γ = const (равноправие К и К’).
Воспользуемся принципом постоянства c. Отсчет t с момента 0 = 0’. В направлении х, х’ – световой сигнал. Событие в К Þ х = сt, в К’ Þ x’ = ct’.
ct = γ (ct’ + vt’) = γ (c + v)t’; ct’ = γ (ct - vt’) = γ (c - v)t.
Перемножим
|
|
|
c2 = γ2 (c + v)(с – v) = γ2 (c2 – v2);
; 
Разобьем на две группы:
Получили преобразования Лоренца.
Из равноправия систем К и К’ – отличие формул только в знаке (К’ – с v относительно К, К – с (-v) относительно К’). При с ® ¥ преобразования Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействия.
v << c Þ b << 1 Þ преобразования Галилея.
v > c, x, x’, t, t’ – мнимые, т.е. движение с v > c невозможно. Невозможно и с v = c, т.к.
Преобразования Лоренца приобретают симметричный вид, если их записать для x и (ct), т.е. для величин одинаковой размерности.
Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 92; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!