Решение системы дифференциальных уравнений.

Пример:

Решить систему диф. уравнений:

X₀^¢(t)=.2X₀(t) – X₁(t) – (X₀(t)²+X₁(t)²)X₀(t)

X^`₁(t)=.2X₁(t) + X₀(t) –(X₀(t) + X₁(t)X₁(t)

На интервале (0,1) с начальными условиями:

X₀(0)=0

X₁(1)=1.

Решение:

Приближенное решение содержится в первом столбце матрицы Z.

Строим график решения – функцию Y(X) - 0-й столбец матрицы откладывается по оси X, по оси Y- 1-й столбец.

Решение систем дифференциальных уравнений более высоких порядков.

Известно, что систему дифференциальных уравнений n-ого порядка

можно свести к равносильной ей системе уравнений первого порядка путем замены высших производных вспомогательными неизвестными функциями.

Т.е. каждое уравнение, входящее в искомую систему, вида:

X⁽ⁿ⁾=f(X^(n-1),X^(n-2),…,X,…)

представляется совокупностью уравнений первого порядка:

Y₁=X¢

Y¢₁=X¢¢=Y₂

Y¢₂=X¢¢¢=Y₃

--------------

Y¢_n-1=X⁽ⁿ⁾=f(Y_0,Y_1,…,Y_n-1)

посредством замены:

Y₀=X

Y₁=X¢

Y₂=X¢¢

^{------------------}

Y_n-1=X^(n-1).

После проделанных преобразований можно применить методику решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описанную выше, т.е.:

· Записать вектор начальных условий.

· Записать функцию D в виде вектора, содержащего первые производные от исходных и вспомогательных функций.

·

·

·

· Каждое уравнение, входящее в систему даст элементы вектора:

Y₁

Y₂

Y₃

-----------

f(Y_0,Y₁,…,Y_n-1)

· Записать функцию Rkfixed.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений:

U¢¢(x)=2V(x)

V¢¢(x)=4V(x)-2V(x)

С начальными условиями:

U(X)=1.5

U¢ (X)=1.5

V(X)=1

V¢ (X)=1 на интервале (0,1).

Для преобразования заданной системы в систему диф. уравнений 1-ого порядка вводим вспомогательные функции:

Y₀=U

Y₁= U¢, тогда Y¢₁=U¢¢

Y₂=V

Y₃= V¢, тогда Y¢₃=V¢¢

Используя эти обозначения, преобразуем исходную систему в систему первого порядка:

Y¢₁=2Y₂

Y¢₃=4Y₂- 2Y₀

Решение:

Записываем вектор начальных условий:

Записываем функцию D:

Записываем функцию rkfixed:

получаем решение в виде матрицы Z, строим график решения:

Вычислительный блок Given/Odesolve для решения ОДУ.

Существует еще один более предпочтительный способ решения дифференциальных уравнений, реализующий численный метод Рунге-Кутта и состоящий из 3-х частей:

· Given – ключевое слово;

· ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических операторов в форме Y(X₀)=b;

· Odesolve (X,X_1, step) – встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной Х на интервале (Х0, Х1), step (может опускаться) определяет количество шагов, в которых метод Рунге-Кутта будет рассчитывать решение ОДУ.

Логические операторы вставляются с помощью панели Boolean.

Символ производной вводится с помощью панели Calculus.

Mathcad требует, чтобы Х0 < Х1. решением будет являться функция Y(X), определенная на интервале (Х0, Х1)

Пример: Решить ОДУ первого порядка Y' =Y-Y² на интервале(0,10) с начальными условиями Y(0)=0.1

Листинг документа в системе Mathcad:

График решения на интервале (0,10) строится обычными средствами

Mathcad:

Можно получить значение функции в любой точке указанного интервала,

знак равенства выбирается с панели