Математическая оценка устойчивости
В любой системе автоматического управления, как в любой динамической системе, под влиянием возмущающих воздействий возникает переходной процесс y(t), который зависит как от свойств самой системы, так и от вида возмущающего воздействия. Поведение системы в переходном процессе можно представить в виде суммы двух составляющих:
. (5.2)
Рисунок 5.5 – К математической оценке устойчивости
Первая из них, 
- свободное движение системы, то есть движение системы, выведенной из состояния равновесия начальными условиями и представленной самой себе. Вторая, 
- вынужденное движение системы, обусловленное внешним воздействием.
Применительно к выражению (5.2), условие устойчивости системы можно сформулировать следующим образом. Система устойчива, если с течением времени от начала переходного процесса его свободная составляющая стремиться к нулю:
. (5.3)
Как было показано ранее (глава 4), передаточная функция системы автоматического управления относительно любого возмущения имеет следующий вид
, (5.4)
где 
,
- соответствующие полиномы от s. Если обозначить входное воздействие на систему (изменение задания или внешнее возмущение) как x(s), а ее реакцию (переходной процесс) как y(s), то, используя определение передаточной функции 
, выражение (5.4) можно переписать как
. (5.5)
Применим к уравнению (5.5) обратное преобразование Лапласа. Получим линейное дифференциальное уравнение с правой частью
|
|
|
(5.6)
Решением данного уравнения и будет кривая переходного процесса y(t) (5.2).
Как известно из курса математики, свободное движение системы определяется как решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:
, (5.7)
а составляющая вынужденного движения – как частное решение уравнения (5.6) для конкретного внешнего воздействия.
Решение однородного дифференциального уравнения свободного движения (5.7) имеет вид
, (5.8)
где 
- постоянные интегрирования; 
- корни характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (5.7).
Характеристическое уравнение, как известно, получается в результате замены в дифференциальном уравнении производных 
соответствующими порядку этих производных степенями 
. Так, уравнению (5.7) будет соответствовать характеристическое уравнение
. (5.9)
Нетрудно заменить, что характеристическое уравнение может быть также получено путем замены в характеристическом многочлене передаточной функции системы P(s) переменной s на l и приравнивания его к нулю.
Среди корней характеристического уравнения, как и всякого алгебраического уравнения, могут быть чисто вещественные корни (
) и комплексные попарно сопряженные корни 
, отличающиеся знаком мнимой части.
|
|
|
Каждому вещественному корню 
в выражении (5.8) соответствует составляющая решения, имеющая вид показательной функции 
, характер которой зависит от знака корня.
Если корень положителен (
), то с ростом t значение y будет возрастать (кривая 1 на рис. 5.6, а). Если же корень отрицателен (
), то соответствующая ему составляющая будет убывать и с течением времени стремиться к нулю (кривая 2 на рис. 5.6, а. Если все корни характеристического уравнения вещественны и отрицательны, то и все выражение (5.8) с течением времени будет стремиться к нулю. Наличие хотя бы одного положительного корня приведет к тому, что с течением времени составляющая будет стремиться к бесконечности, то есть нарушается условие устойчивости системы (5.3). Если хотя бы один из корней окажется равным нулю (при всех прочих отрицательных корнях), то одна из составляющих при любых значениях времени будет постоянной, вследствие чего условие устойчивости (5.3) также не будет соблюдаться.
Рисунок 5.6. Составляющие решения дифференциального уравнения свободного движения
Следовательно, необходимым условием устойчивости системы является условие отрицательности всех вещественных корней характеристического уравнения, полученного из характеристического многочлена передаточной функции системы.
|
|
|
Если корни характеристического уравнения комплексные, то каждая пара комплексных сопряженных корней 
и 
дает составляющую переходного процесса в виде произведения показательной и синусоидальной функций
. (5.10)
Из этого выражения нетрудно видеть, что при отрицательном значении вещественной части корня, амплитуда данной составляющей стремиться к нулю (кривая 2 на рис. 5.6, б), а при положительном – возрастает с течением времени (кривая 1 на рис. 5.6, б). При чисто мнимом корне (вещественная часть равна нулю) получаем составляющую с незатухающими синусоидальными колебаниями.
Чтобы все составляющие решения дифференциального уравнения (5.8), относящиеся к комплексным корням с течением времени затухали, необходимо, чтобы вещественные части всех комплексных корней были отрицательными.
Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы автоматического управления является отрицательное значение вещественной части всех корней характеристического уравнения, построенного по характеристическому многочлену передаточной функции системы.
|
|
|
Корни характеристического уравнения могут быть представлены графически в виде точек на комплексной плоскости, которая в этом случае называется плоскостью корней (рис. 5.7).
При этом вещественные корни изображаются точками, расположенными на вещественной оси, а комплексные корни - точками, лежащими в соответствующих местах этой плоскости. Поскольку все комплексные корни являются попарно сопряженными, то они расположатся симметрично относительно вещественной оси, как это показано на рис. 5.7.
Очевидно, что все отрицательные вещественные корни и все комплексные корни с отрицательными вещественными частями располагаются на плоскости корней слева от оси мнимых чисел, то есть в левой полуплоскости. Поэтому условие устойчивости можно сформулировать еще и следующим образом.
Рисунок 5.7. Распределение корней характеристического уравнения устойчивой системы
Линейная система будет устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения на плоскости корней располагаются слева от оси мнимых чисел.
Сформулированные выше условия устойчивости требуют вычисления корней характеристического уравнения. При больших порядках характеристического уравнения (больше 3-го) необходимо использовать численные методы вычисления корней алгебраических уравнений, что вносит свои затруднения. Поэтому возникает вопрос, как определить знаки вещественных частей корней характеристического уравнения, а следовательно, и определить устойчивость системы, не решая ее характеристического уравнения. Эта более простая задача может решаться при помощи критериев устойчивости – правил, посредством которых можно определить, расположены ли все корни данного конкретного характеристического уравнения в левой полуплоскости.
Однако, прежде чем исследовать устойчивость с помощью того или иного критерия, следует убедиться, что необходимое условие устойчивости выполняется; а именно, все корни характеристического уравнения имеют вещественную часть.
Пусть характеристическое уравнение имеет степень n. Необходимым условием устойчивости является наличие не нулевых коэффициентов перед каждым членом уравнения с последовательно уменьшающейся степенью s: n-1, n-2, n-3 и так далее. Если это требование не выполняется, то система называется структурно неустойчивой.
Покажем это на примере простейшей системы, состоящей из одного инерционного и двух интегрирующих звеньев (рис. 5.8).
Рисунок 5.8 – Пример структурно-неустойчивой системы
Передаточная функция такой системы в разомкнутом состоянии
,
где 
. Характеристическое уравнение такой системы в замкнутом состоянии запишется как
.
В этом уравнении отсутствует член со степенью s равной единице, следовательно, один из корней будет чисто мнимым. Так как для данного уравнения не выполняется необходимое условие устойчивости, то система будет неустойчива при любых значениях T и k. Следовательно, данная система будет структурно неустойчивой.
Структурно неустойчивую систему можно превратить в устойчивую систему только изменением ее структуры, то есть введением дополнительных элементов, например дифференцирующих звеньев или инерционных звеньев параллельно интегрирующим.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!