Интегрирование простейших иррациональностей
БИЛЕТ 2
Интегрирование рациональных дробей. Пусть требуется найти интеграл P(x)⁄Q(x) dx от дроби P(x)⁄Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, т.е. подынтегральная функция рациональная. Эта дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае дробь называется неправильной. Интегрирование простейших дробей типов:
1) ∫Adx⁄x-a 2) ∫Adx⁄(x-a)ⁿ, 3) ∫Ax+B ⁄ x²+px+q dx, 4)) ∫Ax+B ⁄ (x²+px+q)ⁿ dx.
Интегралы типа 1) и 2) находят непосредственно:
1) ∫Adx⁄x-a =A∫d(x-a)⁄ x-a=A In|x-a|+C
2) ∫Adx⁄(x-a)ⁿ =A∫(x-a)̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄̄ ̄ⁿd(x-a)=A⁄(1-n)(x-a) 
Для нахождения интеграла типа 3) рассмотрим случаи:
а) Если знаменатель Q(x) рациональной дроби 
разлагается на множители следующим образом: 
, где квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Тогда имеет место следующая
Теорема: Правильную рациональную дробь 
можно единственным образом разложить в сумму простейших дробе 
где А₁,В₁,М₁, N₁ - действительные числа (i=1,2,…)
Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов.
Если знаменатель не имеет действительных корней, то в нем выделяют полный квадрат и производят замену переменной.
Замечание: При интегрировании неправильной рациональной дроби необходимо выделить целую часть и только потом интегрировать многочлен и правильную дробь.
|
|
|
3 билет.Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование простейших иррациональностей.
Интегрирование простейших иррациональностей
1. Если подынтегральная функция содержит лишь линейную иррациональность 
(а ¹ 0),
то полезна подстановка 
. 2. Интеграл от простейшей квадратной иррациональности 
вычисляется с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата и сводится к одному из двух интегралов типа
,
которые вычисляются подстановкой Эйлера:I. 
(a¹0) 
, где t- новая переменная.
То есть х2 + a = t2 - 2×t×x + x2 или a = t2 - 2×t×x. Возьмем дифференциал от обеих частей, получим ---da = 0 = 2tdt - 2xdt - 2tdx или tdx = (t - x)dt, тогда
, то есть 
.
Таким образом, 
.
.(a¹0)
II. 
.
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!