Система довільного числа випадкових величин (на «5» балів)

Функція розподілу системи n випадкових величин

Функцією розподілу n випадкових величин називається така функція від n аргументів (х₁, х₂ … х_п₎, яка визначає ймовірність спільної одночасної появи подій

((Х₁< х₁) I (X₂ < х₂) I (X₃ < х₃) I … I (X_n < х_1n):

Ця функція має всі властивості функції розподілу ймовірностей одного та двох аргументів.

Якщо принаймні один з аргументів х_і® – ¥, то функція розподілу ймовірностей системи п випадкових величин прямує до нуля.

Якщо із системи х₁, х₂,… х_п виділимо деяку підсистему х₁, х₂,…, х_k (k < n), то функцію розподілу для цієї підсистеми дістанемо, коли решта аргументів прямуватиме до ¥:

Зокрема, дістанемо функцію розподілу одного аргументу, якщо всі аргументи, окрім х₁, спрямуємо до ¥:

Якщо всі аргументи спрямувати до ¥, то .

Щільність імовірностей системи n випадкових величин

Щільність імовірностей системи п випадкових величин є функція

Умова нормування для системи п неперервних випадкових величин

Щільність імовірностей для деякої підсистеми (х₁, х₂,… х_k) системи (х₁, х₂,… х_п), де k < n подається у вигляді

Наприклад,

Умовна щільність підсистеми (х₁, х₂,…, х_k) системи (х₁, х₂,…, х_п) (k < n) визначається за формулою

Якщо випадкові величини системи (х₁, х₂,…, х_п) є незалежними, то

Числові характеристики системи n випадкових величин

При цьому виконується рівність

Коли i = j, маємо:

Усі кореляційні моменти і дисперсії розміщують у вигляді квадратної таблиці, яка називається кореляційною матрицею системи п випадкових величин і має такий вигляд:

Елементи кореляційної матриці симетрично розміщені відносно її головної діагоналі. Оскільки , , заповнюють лише половину кореляційної матриці. І в цьому випадку вона набуває такого вигляду: