Стохaстична залежність (на «5» балів)

Дві випадкові події називаються незалежними, якщо

, або F(x, y) = F(x) F(y).

Для неперервних випадкових величин Х і Y умовy незалежності можна подати через щільності ймовірностей:

f (x, y) = f (x) f (y).

Умову незалежності можна записати і так:

f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y).

Залежність випадкових величин у певному розумінні є узагальненням поняття функціональної залежності. Якщо в разі функціональної залежності між величинами Х та Y кожному значенню Х = х відповідає певне значення Y = у, то в разі залежності між випадковими величинами Y і Х кожному можливому значенню Х = х відповідає множина значень Y, які характеризуються умовними щільностями ймовірності f (y / x).

Отже, залежність між випадковими величинами означає аналітичну залежність щільності умовного розподілу однієї з них від значень, яких набуває друга величина. Таку залежність називають стохастичною або ймовірнісною. Виявляється вона не лише у зміні умовних законів розподілу, а й у зміні умовних числових характеристик: M (X / y), M (Y / x), D (X / y), D (Y / x), тобто умовних математичних сподівань та умовних дисперсій (рис. А—F).

Рис. А. Стохастична і кореляційна залежність між Y та Х, М (Y / х) = a(х)

Рис. B. Стохастична і кореляційна залежність між Х та Y, М (X / у) = b(у)

Рис. С. Стохастична залежність між Y та Х, D (Y / х) = a(х); кореляційний зв’язок відсутній

Рис. D. Стохастична залежність між Х і Y, D (X / у) = b(у); кореляційний зв’язок відсутній

Рис. Е. Незалежні випадкові величини

Рис. F. Незалежні випадкові величини

Отже, рис. А, В ілюструють те, що кореляційною залежністю між випадковими величинами Y і Х є функціональна залежність умовних математичних сподівань М (X / у), М (Y / х) від аргументів у та х:

М (X / у) = a(у). М (Y / х) = b(х).

Ці рівняння називають рівняннями регресії. Якщо М (Y / х) = М (y), М (X / у) = М (х), то кореляційна залежність відсутня, але існує стохастична залежність (див. рис. С і D), оскільки змінюються умовні дисперсії. Випадок, коли між Х і Y відсутня стохастична, а отже, і кореляційна залежність, ілюструють рис. Е і F.

Отже, якщо між випадковими величинами Y і Х існує кореляційна залежність, то між ними обов’язково іcнує й стохастична залежність. Але за наявності стохастичної залежності між випадковими величинами Х і Y кореляційної залежності між ними може й не бути.

Приклад 6.

Задано f (x, y) = 1/48, якщо (x, y) Î W; f (x, y) = 0, якщо (x, y) Ï W.

Де