Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики (на «5» балів)

Багатовимірні випадкові величини.  Система двох випадкових величин

 

На одному й тому самому просторі елементарних подій W можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими параметрами. Так, у разі виготовлення валів такі їх параметри, як діаметр, довжина, овальність є випадковими величинами, значення яких наперед не можна передбачити. Або, скажімо, структура витрат випадково взятої окремої сім’ї на їжу, одяг, взуття, транспорт, задоволення духовних потреб також є випадковими величинами, визначеними на одному й тому самому просторі елементарних подій.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні означення, які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

 

Означення. Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X₁, X₂, …, X_n) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

1. Система двох дискретних випадкових величин (X, Y) та їх числові характеристики

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = y_i , X = x_j та відповідних їм імовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X = xj Y = yi	x1	x2	x3	…	xm	pyi
y1	p11	p12	p13		p1m	p y1
y2	p21	p22	p23		p2m	p y2
y3	p31	p32	p33		p3m	p y3
…	…	…	…	…	…	…
yk	pk1	pk2	pk3	…	pkm	pym
pxj	px 1	px 2	px 3	…	pxm

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

    (1)

2. Основні числові характеристики для випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y)

     (2)

(3)

                        (4)

          (5)

(6)

                       (7)

3. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

  (8)

У разі Κ_ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х, Y), відсутній. Коли Κ_ху ¹ 0, то між відповідними Х і Y кореляційний зв’язок існує.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

                                (9)

, або .

Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κ_ху = 0 і r_ху = 0. Рівність нулеві r_ху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині кола радіусом R із центром у початку координат. Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо r_ху = 0, і корельованими, якщо r_ху ¹ 0.

Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.

Приклад 1. Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X, Y):

Х = хj Y = yi	5,2	10,2	15,2	Pyi
2,4	0,1a	2a	0,9a
4,4	2a	0,2a	1,8a
6,4	1,9a	0,8a	0,3a
Pxj

Знайти а. Обчислити M (X); D (X); s (X); M (Y); D (Y); s (Y); K_ху; r_ху; P (2,4 £ Y < 6,4; 5,2 < X £ 15,2).

Розв’язання .

Скориставшись умовою нормування (1), дістанемо:

Зі знайденим а  закон системи набирає такого вигляду:

Х = хj Y = yi	5,2	10,2	15,2	Pyi
2,4	0,01	0,2	0,09	0,3
4,4	0,2	0,02	0,18	0,4
6,4	0,19	0,08	0,03	0,3
Pxj	0,4	0,3	0,3

Основні числові характеристики обчислюємо за формулами (2) — (9):

K_ху = М (XY) — М (X) М (Y) = 40,28 – 9,7 × 4,4 = 40,28 – 42,68 = 1,4.

Оскільки Κ_ху > 0, то між відповідними величинами існує кореляційний зв’язок. Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислимо коефіцієнт кореляції

Остаточно маємо:

p(2,4 £ Y < 6,4; 5,2 < X £ 15,2) = 0,2 + 0,02 + 0,09 + 0,18 = 0,31.

Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин та їх числові характеристики (на «5» балів)

Умовним законом розподілу дискретної випадкової величини Х при фіксованому значенні Y = y_i називається перелік можливих значень випадкової величини Х = х_i та відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Y = y_i.

У табличній формі запису умовний закон Х / Y = y_i має такий вигляд:

X = x j	x1	x2	x3	…	xm
	Pi1 / Py1	Pi2 / Py2	Pi3 / Py3	…	Pim / Pym

При цьому має виконуватись умова нормування:

Числові характеристики для цього закону називають умовними.

Умовне математичне сподівання

(10)

Умовна дисперсія і середнє квадратичне відхилення обчислюються відповідно за формулами

;      (11)

.            (12)

Умовним законом розподілу випадкової величини Y при фіксованому значенні Х = х_і називається перелік можливих значень випадкової величини Y = у_j і відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Х = х_і.

У табличній формі запису умовний закон має такий вигляд:

Y = у j	y1	y2	y3	…	ym
	P1j/ Pх1	P2j/ Рх2	P3j/ Px3	…	Pmj / Pxm

При цьому має виконуватись умова нормування:

.

Умовне математичне сподівання

(13)

Умовна дисперсія

         (14)

Умовне середнє квадратичне відхилення

                     (15)

Приклад 2. Задано двовимірний закон розподілу:

Х = хj Y = yi	10	20	30	Pyi
– 6	0,02	0,05	0,03	0,1
– 4	0,08	0,15	0,07	0,3
– 2	0,2	0,3	0,1	0,6
Pxj	0,3	0,5	0,2

Обчислити М (Х / Y = – 4); М (Х / Y = 30); s(Y / X= –4 ); s (Y / X = 30).

Розв’язання . Для обчислення М (Х / Y = – 4), М (Х / Y = 30) необхідно побудувати відповідні умовні закони розподілу.

Умовний закон розподілу Х / Y = – 4:

X = x j	10	20	30
	0,08/0,3	0,15/0,3	0,07/0,3

åP(X / Y = – 4) = 0,8 / 0,3 + 0,15 / 0,3 + 0,07 / 0,3 = 1

M(X / Y = – 4) = 1 / 0,3 (10 × 0,08 + 20 × 0,15 + 30 × 0,07) =  (0,8 + 3 + 2,1) = 3,2 / 0,3 = 10,7;

M(X² / Y= – 4) = 1 / 0,3 (100 × 0,08 + 400 × 0,15 + 900 × 0,07) =  (8 + 60 + 63) = 131 / 0,3 = 1310 / 3;

D (X / Y= – 4) = 1310 / 3 – (32 / 3)² = 1310 / 3 – 3481 / 9 = (3930 – 3481) / 9 = 449 / 9;

 

s(X / Y = – 4) = (449 / 9)^0,5 = 1 / 3(2906)^0,5 = 7,1.

 

Умовний закон розподілу Y / Х = 30:

Y = у j	– 6	– 4	– 2
	0,03 / 0,2	0,07 / 0,2	0,1 / 0,2

åP (Y / Х = 30) = 0,03 / 0,2 + 0,07 / 0,2 + 0,1 / 0,2 = 1;

M (Y / X = 30) = 1 / 0,2 (– 6×0,03–4×0,07–2×0,1)=1/0,2 (–0,18–0,28–0,2)=–0,66/0,2= –3,3;

M (Y ² / X = 30)=  (36 × 0,03 + 16 × 0,07 + 4 × 0,1) 1 / 0,2 (1,08 +1,12 + 0,4)=2,6/0,2=13;

D (Y / X = 30) = 13 – (–3,3)² = 13 – 10,89 = 2,11;

s (X / Y = – 4) = (2,11)^0,5 = 1,45.

Приклад 3. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,8. Перевірці підлягають 3 деталі. Побудувати закон системи двох дискретних випадкових величин Х — появи числа бракованих деталей і Y — появи числа стандартних деталей. Обчислити r_xy.

Розв’язання . Запишемо закон у табличній формі:

Х Y	0	1	2	3	Pyi
0	0	0	0
1	0	0		0
2	0		0	0
3		0	0	0
Pxj

Обчисливши ймовірності, дістанемо:

Х Y	0	1	2	3	Pyi
0	0	0	0	0,008	0,008
1	0	0	0,096	0	0,096
2	0	0,384	0	0	0,384
3	0,512	0	0	0	0,512
Pxj	0,512	0,384	0,096	0,008

М (X) = = 0 × 0,512 + 1 × 0,384 + 2 × 0,096 + 3 × 0,008 = 0,6;

M (X ²) = Sx_j²px_j = 0 × 0,512 + 1 × 0,384 + 4 × 0,096 + 9 × 0,008 = 0,384 + 0,384 + 0,072 = 0,84;

D (X) = M (X ²) – M²(X) = 0,84 – 0,36 = 0,48;

s_x = (0,48)^0,5;

М (Y) = Sy_ipy_i = 0 × 0,008 + 1 × 0,096 + 2 × 0,384 + 3 × 0,512 = 0,096 + 0,768 + 0,536 = 2,4;

M (Y ²) = Sy_i²py_i = 0 × 0,008 + 1 × 0,096 + 4 × 0,384 + 9 × 0,512 = 0,096 +1,536 + 4,608 = 6,24;

D (Y) = M(Y ²) – M ²(Y) = 6,24 – (2,4)² = 6,24 – 5,76 = 0,48;

s_y = (0,48)^0,5;

M (XY) = Sy_ix_jp_ij = 2 × 0,384 + 2 × 0,096 = 0,96;

K_xy = M (XY) – M (X) M (Y) = 0,96 – 2,4×0,6 = 0,96 – 1,44 = – 0,48;

r_xy= K_xy / s_x s_y = – 0,48 / 0,48 = – 1.

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!