КАСАТЕЛЬНЫЕ И НОРМАЛИ ПРОФИЛЕЙ

В теории ВГМ (при анализе кинематики зацепления, расчете контактных нагрузок) важное значение имеет исследование свойств касательных и нормалей профилей РО.

Текущий угол наклона касательной к исходному профилю X (угол между положительными направлениями оси абсцисс и ка­сательной к кривой, заданной в параметрической форме (4.12)) определяется следующим образом [68]:

 (4.34)

где х', у' - производные по угловому параметру .

Поскольку касательные к скелету профиля (с_е = 0) и его эквидистанте параллельны и их наклон не зависит от коэффициен­та формы зуба, то

При изменении углового параметра т в пределах углового ша­га ( ) главное значение круговой функции (4.34) может быть как отрицательным (при х' < 0), так и положитель­ным (при х' > 0).

Угол наклона к оси х (рис. 4.16) нормали первой ветви ис­ходного профиля также может изменять знак:

а = > 0 при  < 0;

(4.35)

а = < 0 при  > 0.

Рис. 4.16. Углы наклона касательной и нормали точки циклоидального профи­ля (  < 0; > 0):

1- положительное направление касательной; 2 - положительное направление

нормали

После преобразований формул (4.35) можно получить общее выражение угла наклона нормали, справедливое для любой точ­ки первой ветви профиля,

 (4.36)

ск

Выражения производных х'_ск, у'_ск из-за их громоздкости

здесь не приводятся.

В идеальном гипоциклоидальном зацеплении (  = 0)

В центроидном идеальном гипоциклоидальном зацеплении (с₀ = 1;  = 0)

 (4.38)

Таким образом, угол наклона нормали к исходному профилю зависит от углового параметра т и безразмерных параметров (z_1,с₀, ), но не зависит от размеров РО (е, r_ц):

Специальными точками являются вершины профиля (на гра­ницах углового шага и в середине интервала) и точки профиля, в которых угол наклона нормалей достигает экстремального зна­чения.

На границах углового шага ( ) и в середине интервала ( ) независимо от безразмерных параметров

Исключением является центроидный профиль, угол наклона нормали в котором изменяется по линейному закону, а на грани­цах углового шага

 (4.39)

Общее выражение угла наклона нормали, справедливое для любой точки профиля ( ), можно получить из геометрии реечноциклоидального зацепления (см. § 4.1.2).

Рис. 4.17. Изменение угла наклона нормали исходного гипоциклоидального профиля при различных коэффициентах смещения (  6; с₀= 1,175

                    (4.40)

где - функции углового параметра т, определяемые зави­симостями (4.9), (4.7).

Свойства нормалей исходного профиля обусловлены характе­ром изменения его кривизны (см. § 4.1.3), т.е. нормали и кри­визна профилей ВГМ - взаимосвязанные категории.

Точки с экстремальным значением а являются точками пере­гиба, в которых изменяется направление вогнутости кривой: здесь профиль расположен не по одну сторону касательной, а пе­ресекает ее. В точке перегиба профиля ( ) радиус кривизны

 (см. § 4.1.3).

В центроидном зацеплении точек перегиба профиля и соответ­ственно экстремальных углов наклона нормали не существует.

В качестве примера на рис. 4.17 представлены графики зависимости угла на­клона нормали к исходному гипоциклоидальному профилю (z1 = 6) от углового параметра т при различных значениях коэффициентов смещения. Видно, что ориентация нормалей к профилю изменяется более равномерно (меньше откло­няется от прямой у =  - как у окружности) при положительном коэффициенте смещения . Коэффициент же внецентроидности с₀ оказывает влияние на воз­можность перехода к отрицательным углам наклона нормали (как в случае  = -1). Следовательно, плавная ориентация нормалей профилей обеспечивается при повышенных значениях коэффициентов с₀ и .

КРИВИЗНА ПРОФИЛЕЙ

Исследование кривизны профилей рабочих органов проводит­ся для определения:

условий обеспечения плавности профилей (отсутствия точек заострения и самопересечения);

радиусов кривизны профилей, необходимых при расчетах гео­метрии поверхностей и контактных напряжений РО.

Радиус кривизны параметрической кривой [68]

Поскольку исходный профильВГМ является эквидистантой его скелета (см. § 4.1.1), то

В общем случае профиля со смещением (  0) выражение радиуса кривизны скелета р_ск получается довольно громоздким (но вполне пригодным для компьютера) и здесь не приводится.

Для идеального гипоциклоидального профиля ( )

В центроидном зацеплении

2z_2>/2(l-cos z,x)

Рек =       2-z, (4-44)

Знак кривизны зависит от направления вогнутости кривой по отношению к нормали [68]. Положительный знак означает, что кривая вогнута в сторону положительного направления нормали (рис. 4.18).

На рис. 4.19 представлены графики изменения р_ск центроидного (с₀ = 1) и внецентроидного (с₀ = 1,175) гипоциклоидально­го профиля статора в пределах углового шага . Видно (см. рис. 4.19, а), что радиус кривизны нормальной гипоциклои­ды (являющейся в данном случае скелетом статора) монотонно изменяется от 0 до максимума и снова достигает 0. Это означает, что на эквидистанте такого профиля, независимо от значения , имеются две точки, в которых  = 0 и наблюдаются самопересе­чения (изломы). Исключение составляет гипоциклоида = 2, у которой  и эквидистанта вырождается в прямую линию. Этот частный случай используется для профилирования статоров одновинтовых насосов Муано. Вместе с тем, несмотря на нали­чие изломов, некоторые фирмы (например, "Roper Pumps") вследствие простоты профилирования используют центроидное зацепление и для многозаходных ВГМ (рис. 4.20), обеспечивая плавность кривых шлифованием дефектных участков профиля.

Во внецентроидном профиле (см. рис. 4.19, б) в пределах уг­лового шага имеются две точки перегиба, где радиус кривизны стремится к бесконечности, меняя свой знак. Гипоциклоидальный профиль статора имеет положительную кривизну (р_ск > > 0) на начальном и конечном интервалах углового шага. Сме­на знака кривизны в точке  означает переход профиля из во­гнутого в выпуклое состояние. На участке с отрицательной кривизной

Рис.4.18.К выбору знака кривизны циклоидального профиля(F-точка перегиба).

Рис. 4.19. Изменение радиуса кривизны "скелета" исходного гипоциклоидального профиля (  =10):

а - с₀ = 1; 6 - с₀ = 1,175

 

имеются максимум, находящийся в середине углового ша­га ( ),и два симметрично расположенных минимума. Граничным для данных  и с₀ является такое значение коэффи­циента формы зуба с_е, при котором кривая  в точках миниму­мов касается горизонтали -с_е.

Анализируя выражение (4.42), можно определить угловые па­раметры особых точек исходного профиля [56, 94]:

Рис. 4.20. Профиль рабочих органов ВЗД фирмы "Roper Pumps" (i = 4:5; с₀ =1; )

точки перегиба

 (4.45)

точки с минимальным радиусом кривизны

при с₀ < ;

 при (4.46)

где  - характерное значение коэффициента внецентроидности,

Значения  для различных  приведены ниже:

....... 2  3    4    5   6     7    8    9   10 11

...... 1 1.25 1,40 1,50 1,57 1,63 1,67 1,70 1,73    1,75

В ВГМ с коэффициентом внецентроидности  характер изменения радиуса кривизны отличается от показанного (см.

рис. 4.19). У таких профилей минимум  расположен в середи­не углового шага, а максимума не существует (рис. 4.21).

Критическое сочетание между коэффициентами профиля ( _,с₀, с_е), при котором сохраняется его плавность, можно опреде­лить, приравняв к нулю производную .

Граничное значение коэффициента формы зуба с_е равняется модулю минимального радиуса кривизны скелета и зависит от коэффициента внецентроидности:

 при (4.47)

 при

Пример профиля, подверженного самопересечению, показан на рис. 4.22.

Радиусы кривизны исходного профиля (  = 0) в вершинах впадин ( = 0) и выступов ( ) соответственно составля­ют

р_1вп= ;                                                                                   (4.48)

                                                                               (4.49)

Кривизна сопряженного профиляможет быть определена тремя способами [117]:

непосредственно по параметрическим уравнениям на основе (4.41);

по кривизне исходного профиля с помощью теоремы Эйлера -Савари;

по кривизне исходного профиля и параметров относительного движения контактной точки.

Известно, что уравнения сопряженного профиля сложнее, чем уравнения исходной кривой [94]. Поэтому определение кривиз­ны сопряженного профиля без использования его параметриче­ских уравнений более целесообразно.

По теореме Эйлера - Савари прямые, соединяющие цент­ры центроид и центры кривизны сопряженных профилей, пересекаются в одной точке с линией, проведенной через точ­ку касания центроид перпендикулярно к профильной нормали [117].

Пусть известны кинематическое отношение i = z₂:z₁; радиус кривизны исходного профиля p₁ в точке К (рис. 4.23) с угловым параметром ; угол наклона  нормали, проходящей через полюс зацепления Р (точку касания центроид колес). Относительно ис­ходного положения полюс повернут на угол . Тогда, зная по­ложение центра кривизны исходного профиля В₁ графически можно определить координату центра кривизны сопряженного профиля В₂. Точка А - общая точка Эйлера - Савари.

Из прямоугольных треугольников  и получаем

где

 

Рис. 4.23. К расчету кривизны сопряженного профиля:

I - исходный профиль; К - точка касания; Р - полюс; F - точка перегиба

После преобразования (4.50) получим выражение радиуса кривизны сопряженного профиля:

 (4.51)

где

Для вычисления р₂ в точке с угловым параметром  требуется определить расстояние до полюса РК и зависимость между угло­выми параметрами  и (см. § 4.1.1).

В идеальном зацеплении (  = 0) выражение (4.51) для вы­ступа зуба ротора упрощается до известного вида

Для реечного зацепления радиус кривизны выступа сопряженного профиля ( = 0), строящегося по уравнениям (4.30), отличается от  и с учетом (4.41) определяется как

                                                                                                (4.52)

 

Рис. 4.24. Зависимость радиуса кривизны выступа сопряженного профиля от числа заходов при различных коэффициентах внецентроидности ( =2,175)

При отсутствии смещения исходного профиля ( )

                                                                       (4.53)

Наибольшее отличие р_2выст от  наблюдается при повышенных коэффициен­тах внецентроидности (рис. 4.24).

Невыполнение условия  > р_2выст является одним из признаков несовер­шенства реечноциклоидального зацепления, приводящего к повышенным меха­ническим потерям и ухудшению пусковых свойств ВЗД. В связи с этим выводы, вытекающие из рис. 4.24, имеют важное практическое значение при проектиро­вании РО ВЗД.

Расчет контактных напряжений (по Герцу) основан на поня­тии приведенного радиуса кривизнысопряженных поверхно­стей (см. § 4.2), который в свою очередь зависит от приведенно­го радиуса кривизны профилей в точке касания:

                                                                                               ( 4.54)

где радиусы кривизны профилей берутся со своим знаком.

Наибольший интерес представляет исследование приведенного радиуса кривизны на контакте выступа зуба ротора (рис. 4.25, точки К  и К₂, К₃) - наиболее нагруженном участке зацепления (в отличие от контакта впадин ротора с выпукло-вогнутым кон­тактом зубьев (см. рис. 4.25, точка K₄)).

Поскольку радиус кривизны выступа зуба ротора в идеаль­ном циклоидальном зацеплении постоянен (р₂ = г_ц), выражение (4.54) с учетом (4.43) можно представить в безразмерном виде 8 — 2977

Рис. 4.25. Типы контакта профилей РО:

 - выпукло-выпуклый;  - выпукло-вогнутый

Рис. 4.26. График изменения приведенного ра­диуса кривизны профилей

(t = 9:10; с₀ = 1,175; с_е = 2,175)

 

                                                                                                                   (4.55)

Формулы (4.54), (4.55) справедливы на всем угловом перио­де ( ), радиус кривизны скелета берется со своим зна­ком.

Приведенный радиус кривизны профилей минимален в фазе зацепления с угловым параметром  (рис. 4.26).

В общем случае при расчете кривизны ВГМ необходимо учитывать и коэф­фициент смещения , который оказывает заметное влияние на кривизну профи­лей. У профилей с положительным смещением относительный радиус кривизны статора  и приведенный радиус  повышаются, что должно учитываться при оптимизации формы РО (см. § 7.2).

---

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 846; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!