Криволинейные и поверхностные интегралы (формула Грина; условия независимости криволинейного интеграла от формы пути).
Криволинейные интегралы первого рода.
Пусть g - спрямляемая кривая (т.е. которая имеет длину), (x(s),y(s),z(s)), где s – переменная длина дуги, естественный параметр. r=r(s) , где r – трехмерный вектор и имеет координаты (x(s),y(s),z(s)). Функция r=r(s) называется представление кривой. В данном случае кривая задана с помощью натурального естественного параметра. Важно и направление на кривой. Направление обычно берется соответственно возрастанию параметра. Рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [0,s] точками s0=0, s1,…,
si =s. В каждом из частичных отрезков отметим точку xi, найдем соответствующую точку r(xi) на кривой g. Отметим также точки r(si-1) и r(si). Получим разбиение кривой с отмеченными точками. Пусть f(x,y,z) – функция, заданная на кривой g. Дополнительно предположим, что эта функция непрерывна на кривой g, не обязательное, но обычное предположение. Рассмотрим ,которая наз-ся интегр-ной суммой для крив-ного интеграла 1-го рода, соответствующей разбиению t и выбору отмеченных точек xi.
Опр: Кривол-ный интеграл 1-го рода наз-ся предел интегральных сумм при мелкости разбиения, стремящейся к нулю (если он $, то тогда ф-цию наз-ют интегрируемой, если не существует, то – неинтегрируемой).
Криволинейные интегралы второго рода.
Дано: кривая , - гладкая, т.е. x= , y= , z= , где a£t£b, - непрерывно дифференцированы и заданы 3 ф-ции 3-х переменных:
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – заданы на кривой g и непрерывны на ней.
|
|
Опр: Криволинейный интеграл 2-го рода от отображения F(P,Q,R) наз-ся .
Обозначение: .
Т-ма (о формуле Грина): Пусть P(x,y) и Q(x,y) – непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой области Д, ограниченной одним или несколькими кусочно-гладкими контурами. Тогда , где Д – наша область, - граница области, где на каждом из контуров, образующих границу, берется положительное направление и криволинейный интеграл, стоящий слева, есть сумма интегралов по этим контурам.
Т-ма ( условие независимости криволинейного интеграла от формы пути): Пусть P(x,y), Q(x,y) – непрерывны в области Д. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области Д, равен нулю.
2. для любых точек А и В ÎД не зависит от выбора кривой, соединяющей точки А и В.
3. выражение Pdx+Qdy является полным дифференциалом, т.е. $ такая функция U(x,y) (она называется потенциал), такая что Pdx+Qdy= , иначе говоря P= , Q= . В этом случае = U(x(b),y(b))-U(x(a),y(a)).
Поверхностный интеграл 1-го рода.
Пусть Ф – двусторонняя кусочно-гладкая повер-сть, огр-ная кусочно-гладким контуром М(x,y,z). Пусть f- ф-ция, заданная в точках повер-сти Ф.
1. Разобьем Ф на части Ф1, …, Фn( ) – кусочно-гладкими кривыми.
|
|
2. В каждой части произвольным образом выберем точку Мi(xi ,yi ,zi).
3. Значение функции f умножим на площадь кусочка Фi : f(xi ,yi ,zi)S(Фi).
4. Рассмотрим сумму, полученную в произведении f(xi ,yi ,zi)S(Фi) (она наз-ся интегральной).
5. Предел этих интегральных сумм при мелкости разбиения ®0 (если он $) наз-ся повер-тным инт-лом 1-го рода ф-ции f по поверхности Ф и обозначается .
Поверхностный ин-л 2-го рода.
Пусть Ф двусторонняя гладкая повер-сть, огр-ная кусочно - гладким контуром. Выберем сторону повер-ти (т. е. выбрать вектор или - ).
Пусть f(x,y,z) – ф-ция, заданная в точках этой повер-ти Ф. Рассмотрим разбиение пове-сти Ф. В каждом Фi выберем произвольную точку Мi( ) , значение ф-ции в этой точке f(Мi) умножим на cos S(Фi), т.е. f(Мi)cos S(Фi), где cos - косинус угла, образованного выбранным вектором нормали в точке Мi и полож-ным направлением оси OZ. Рассмотрим сумму , она наз-ся интег-ной суммой для повер-стного инт-ла 2-го рода. Если предел интегральных сумм при мелкости разбиения стремится к 0, $ , то ф-ция наз-ся интегрируемой, а этот предел инт-лом 2-го рода, который обоз-ся . Аналогично определяются инт-лы: и .
Итак, =
=
= .
13. Б 13 Используя первую интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов вычислить приближенное вычисление значение функции в точке x = 1,25.
|
|
x | y |
1.2 | 2,0736 |
,3 | 2,8561 |
1,4 | 3,8416 |
1,5 | 5,0625 |
.
i | xi | yi | ∆yi | ∆2yi | ∆3yi |
0 | 1,2 | 2,0736 | |||
2,8561- 2,0736= 0,7825 | |||||
1 | 1,3 | 2,8561 | 0,9855-0,7825= 0,2030 | ||
3,8416-2,8561= 0,9855 | 0,2354-0,2030= 0,0324 | ||||
2 | 1,4 | 3,8416 | 1,2209-0,9855= 0,2354 | ||
5,0625-3,8416= 1,2209 | |||||
3 | 1,5 | 5,0625 |
Подставляя полученные значения в начальную формулу получим
P2(x)= 0,203x2 – 1,9858x+ 4,9322.
Убедимся в правильности многочлена P2(1б3)= 0,203·1.32 – 1,9858·1.3+ 4,9322=2.856.
Тогда P2(1.25)= 0,203·1.252 – 1,9858·1.25+ 4,9322= 2.7671.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 593; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!