Необходимые условия экстремума фунуций многих переменных.
Пусть функция f(x) определена в области и пусть . Назовем x0 точкой (локального) минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех выполнено неравенство . Назовем точку x0 точкой строгого минимума ф-ции f(x), если найдется такой шар , что для всех (т.е. для всех точек шара, не совпадающих с его центром) выполнено неравенство .. Аналогично оп-ределяются точки максимума. Точки максимума и минимума ф-ции наз. точками экстремума.
Теорема1. Если в точке экстремума x0 ф-ции f(x) существует частная производная , то она равна нулю.
Док-во. Пусть, например, существует . Рассмотрим ф-цию одной переменной Так как x0– точка экстремума(пусть например минимума), то сущ-ет шар такой, что для всех точек этого шара. В частности для любого должно быть выполнено равенство Ф-ция одной переменной имеет в точке минимум. Поэтому , т.е. . Чтд.
Теорема2. (неоходимые условия минимума). Пусть ф-ция f(x) имеет в
окрестности точки минимума непрерывные частные производные первого и второго порядка. Тогда (Аналогично доказывается, что для ф-ции f(x), дважды дифф-мой в окрестности максимума x0, выполняются условия ).
Теорема3. (достаточные условия экстремума). Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки непрерывные частные производ-ные второго порядка и пусть . Тогда, если второй диффернециал есть положительно определенная квадратичная форма, то – точка строгого минимума f(x), если – отрицательно определенная квадратичная форма, то – точка строгого максимума f(x), если – неопределенная квадратичная форма, то f(x) не имеет экстремума в точке .
|
|
Гармонические функции и их свойства. Задачи Дирихле и Неймана. Решение задачи Дирихле для круга.
Ур. Пуассона Δu=g(x), ур. Лапласа: Δu=0 - ур-я эллиптического типа.
Общее решение ур-я Лапласа мы найти не можем, но можно указать сколь угодно много частных решений этого ур-ия. Самые простые:
, , , и т.д., некоторые из этих решений явл. гармоническими ф-ми.
Опр. Ф-ия u(x), x |Rn наз. Гармонической в огранич. обл., если она имеет в этой обл. непрер. Производные второго порядка и удовлетворяет ур-ю Лапласа.
Опр. Ф-ия u(x) наз. гармонической в неограниченной обл., если если она гармонична в любой подобласти этой области и на бесконечности удовл-ет условию: , n-размерность пр-ва.
Задача Дирихле: Г-граница области . Решение задачи Дирихле в ограниченной обл. наз. внутренней зад., в неограниченной – внешней.
Задача Неймана: N-внешняя нормаль к поверхности Г.
Решение задачи Дирихле для круга.
Перейдём к полярной системе координат
(1) Ф-ию g( ) разложим в ряд Фурье:
(2), где
, .
Решение внутренней зад.(в круге) будем искать в виде ряда:
|
|
(3) – эта ф-ия будет гармонической внутри круга, если положить , . Выполнение граничных условий требует, чтобы ряд совпадал с рядом (2). А это возможно тогда, когда , , , отсюда , .
Т.О. решение внутренней задачи Дирихле даётся рядом: , решение внешней задачи Дирихле даётся рядом: .
Вместо и подставим их выражения через интеграл. Сделав преобразования и вычислив полученный интеграл придём к решению исходной задачи:
- для внутренней задачи Дирихле. И для внешней задачи (вне круга) решение будет, как и для внутреннеё,
10 Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы
Решение:
Мы должны найти все λ, для которых уравнение (1)
имеет решение
что приводит к системе:
Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.
~ ~ ~
При 18-3λ=0, т.е. при λ=6, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и = 3. И при таких λ система, а, значит, уравнение (1), имеет решение. При других λ решений нет.
Ответ: λ = 6
10Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки А (1, 3, 5) к прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + 2y + z – 1 = 0, 3x + y +2z – 3 = 0.
|
|
Решение:
Проведем плоскость через точку А, перпендикулярную прямой а. Составим уравнение этой плоскости, соединив вместе три уравнения в систему, найдем основание перпендикуляра.
Найдем направляющий вектор прямой. В качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей.
Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой, имеет вид: 3x-y-4z+D=0. Поставим в это уравнение координаты точки А: 3-3-20+D=0 ÞD=20. Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 3x-y-4z+20=0. Найдем координаты основания перпендикуляра. Для этого запишем систему
II-III : 2y+6z-23=0 Þ 2y=23-6z Þ y=(23-6z)/2
2x+23-6z+z-1=0 Þ 2x+22-5z=0 Þ 2x=5z-22 Þ x=(5z-22)/2
Значит искомая точка М (-41/26, 5/26, 49/13)
Ответ: М (-41/26, 5/26, 49/13)
Билет 11
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 633; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!