Первые интегралы дифференциальных систем и основные теоремы о них.
Рассм. с-му: (1), т.е. где непрер. в области D.
ОПР.Дифференцируемая ф-я наз. первым интегралом с-мы (1), если она отлична от постоянной, но любое решение
Если t интегрировано как время, а xкак в-р пр-ва некот. реальной системы, то тождество означает, что величина uc течением времени не меняется. Поэтому если не зависит явно от t, то это и является законом сохранения.
Т. Дифференцируемая функция отличная от постоянной, явл. первым интегралом системы (1) т. и т.т, когда
Д-ВО: неох. дано: -1-й интеграл. док-ть: . достаточно доказать: для любого
Пусть -произв точка по области D. ч/з эту точку проходит решение . Для этого решения . Продиф. это тождество, получим . Пусть получим
достаточность: дано: док-ть: . В нашем случае , это значит
.чтдРассм. (1). Пусть -1-й интеграл в этой системе
Т. Если известен 1-й интеграл с-мы (1), то размерность (порядок) этой системы можно понизить на 1.{т.е. зная 1-й интеграл с-му (1) состоящую из 3-х ур-ий свести к системе сост. из 2-х ур-ий}
6. Найти .
непрерывная на [0; x2]
.
Ответ: .
6. Какие из следующих множеств попарно гомеоморфны:
(- ;3]; [1;5) ; (-7; 2) и [2, 3]. Рассматривается естественная топология.
Решение:f-гомеоморфизм, если f-биекция, f-непрерывно, f-1 –непрерывно. Т.к. при непрерывном отображении открытые®откр, замкнутые®замкн., то след. рассматривать мн-ва (- ;3]=А и[1;5)=В. Найдем отображение f:А®В Þf=- , по теореме об обратном отображении f(x)-инъективно, сюръективно, а биективно. То по определению f- гомеоморфно.
|
|
Билет 7
ИнтегралРимана(определение,существование,свойства;диф-мость интеграла Римана по верхнему пределу). Сущ-вание первообразной у непр-вной ф-ции. Формула Ньютона-Лейбница.
Опр. Пусть f(x) функция заданная на [a;b]; 1. Разбиением отрезка [a;b] называется система точек x0, x1,...,xn: такая что a= x0<x1<x2<…<xn=b; 2. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и система точек такие что [xi-1;xi]; 3. Диаметром разбиения называется . Обозначения (P; ) - разбиение с отмеченными точками; - диаметр разбиения; P - разбиение.
Опр. Интегральной суммой функции f для данного разбиения (P; ) называется сумма и обозначается .
Опр. Число I называется определённым интегралом ф-ции f на [a;b], если >0 >0: с диаметром .
Опр. Интегралом функции f на [a;b] называют предел интегральных сумм при и обозначается = .
Функция называется интегрируемой по Риману, если у нее интеграл.
Необходимое условие интегрируемости: Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на нем.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости (критерий Дарбу интегрируемости по Риману): Для того чтобы ф-ция f была интегрируема на [a;b] чтобы она была огр и удовлетв условию >0 >0: с , имеем: .
|
|
R[a;b] – класс всех функций интегрируемых по Риману на [a;b].
Т(св-во линейности). 1. f ,g R[a;b], f+g R[a;b]; 2. f R[a;b] , R, f R[a;b] ; 3. f,g [a;b] , R f+ g)dx= + .
Т(св-во интегрируемости произведения)Пусть f ,g R[a;b] f*g R[a;b]
Т(св-во)Пусть a<c<b, если f R[a;c] и f R[c;b], тогда ф-ция f R[a;b] и
Т(неотриц интегралов)Пусть f R[a;b] и на [a,b], тогда
Т(св-во интегр-ти модуля)Если ф-ция f R[a;b] и
Дифференцируемость интеграла Римана по верхнему пределу.
Опр. Пусть f R[a;b], тогда f R[a;х] , [a;b] определён и ф-ция F: [a;b] эту функцию наз опред интеграл с переменным верхним пределом и обозн F(x)= .
Т (диф-ть интеграла с переменным верхним пределом): Пусть f R[a;b], и f непрерывна в точке x0 [a;b], тогда F(х) диф-ма в x0, и .
Доказательство. Рассмотрим [a;b], F(x0+ x)-F(x0)= = x, где inff(x0) supf(x0), , рассмотрим >0 учитывая непрерывность f(x0) <f(t)< , , если < , и , тоесть < .
Т(непр интеграла с пер верх пределом) Если f R[a;b],то F(x) С[a;b]
Опр. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на [a;b]. Если заданы ф-ции f(x) и F(x) (F(x) непрерывна на [a;b]) и , .
Т(О существовании первообразной): Пусть f С[a;b], тогда для этой ф-ции на [a,b] первообразная F(x)= и причём
Д-во. Возьмём произвол. т. f непр в т.х. По пред. Теореме имеем , т.е. ф-ция F явл. первообр. для f.
|
|
Т(Формула Ньютона-Лейбница): Пусть f С[a;b], и Ф(х) какая либо первообр ф-ции f , тогда справед формула Ньютона-Лейбница =
Доказательство. Т.к. f(x) – непрерывна всюду кроме конечного числа точек и ограничена, то она интегрируема. Пусть (x) – одна из обобщенных первообразных, обозначим через F(x)= , тогда (x)-F(x) c, тогда (a)-F(a)=c, (a)=c; =F(b), (b)-F(b)=c; = (b)-c= (b)- (a). Краткая запись = (x) . Формула Ньютона-Лейбница верна, когда a b, = - =-( (a)- (b))= (b)- (a).
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 676; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!