Мера. Мера Лебега на прямой. Интеграл Лебега: определение и свойства.
ОПР.Пусть S-полукольцо подм-ва мн-ва Ф(X).Числовую ф-цию 
опр-ю на полукольце S приним-ю знач-я из 
не равную тождественно 
(т.е. 
б. наз. мерой, если она аддитивна,т.е. 
мн-в 
: 
число 
наз мерой мн-ва А
ОПР Мера 
наз счетно-аддитивной если из 
счетно-адд1. меру также наз 
аддитивной ОПР мера 
наз конечной, если 
ОПР мера 
наз 
конечной, если 
кон. или 
,счетное числ их: 
ОПР Пусть 
мера опр-я на полук-це S, мера 
опр-ная на полуко-льце 
наз продолжением меры 
,если 1) 
2) 
Т Пусть 
полук-цо и 
мера опр-на 
, 
и един-ное прод-ние меры 
на 
с наим. кол-м содер-м S и если 
адд-я,то 
аддитивная.
СВ-ВА МЕРЫ 1) если A,B 
2) если 
3)если 
4)чтобы 
б. 
адд-на 
5) Пусть 
адд-ная на S и посл-ть 
явл неубыв,т.е. 
6) пусть 
аддит. на S и пос-ть 
невозр: 
Т мера Лебега на прямой 
аддитивна Д Пусть 
,т.е.
Ин-л Леб для пр-х ф 
пр-во полной мерой
Опр ф-ю h(x) опр на мн-ве E б.наз.простой если измерима на мн-ве Е Опр 
Пусть 
знач-я ф-ции h(x) и 
мн-во на кот h(x) принимает знач 
ОПР Ин-лом Л. для неотр ф-ций f измеримой на Е наз число= 
h-простая на Е}и 
Ин-л Л. Пусть f измерима на Е, расс-м ф-и
,они неотриц-е и измеримы на Е и справедливо 
опр измеримую на мн-ве Е ф-ю б.наз. интегрируемой на Е, если 
,если интегрируема,то 
интег-емы в силу нер-в 
поэтому опр-на разность 
кот наз ин-лом от ф-ции f по мн-ву Е
СВ-ВА 1) если ф-ции f и g интег-емы на Е и 
на Е 
2) если на Е вып-но 
и g интег-ема на Е 
f интег-ма на Е
3) если ф-ции f и g интег-мы на Е 
тоже инт-мы на Е
и 
4) (счетная аддитивность ин-ла Л.) Пусть 
ин-ма на мн-веА 
причем ряд справа абсолютно сх-ся 
,т.к.разность сх-ся есть сх-ся ряд 
абсол сх-ти рядов 
5) (абсол-я непр-ть ин-ла Л) f-ин-ма на Е 
мера 
6) если f=0 почти всюду на Е, то 
Билет 15
Линейные отображения (ядро и образ линейного отображения; ранг и дефект линейного оператора, примеры; матрица линейного оператора; собственные векторы и собственные значения линейных операторов; ортогональные и самосопряженные линейные операторы; теорема об ортогональных и самосопряженных линейных операторах).
V и W-пр-ва в поле Р, 
-лин от-е, тогда: 1) 
-образ 2) 
-ядро лин отобр.
V-кон мерн вект пр-во над пол Р, 
-лин опер-р, тогда 
назыв рангом и обозн 
, а 
назыв дефектом и обозн 
.
Пусть V-вект пр-во над пол Р и пусть f-лин опер-р. Скаляр 
назыв собств знач опер-ра, если в пр-ве V найд так ненул в-р х, для кот вып рав-во 
. При этом так в-р х назыв собст-м в-м лин опер f принадлеж собст знач 
. Теор: Пусть f-лин оперкон мерн вект пр-ва V, тогда спр след утв: 1) кажд собст знач лин опер f явл корнем хар-го мн-на лин опер; 2) люб кор хар-го мн-на опер f принадл полю Р и явл соб знач опер.
Опер f пр-ва V назв ортогон, если он не измен скал произвед, т.е. если 
им место (х,у)=(f(x),f(y)).
Лиин опер f пр-ва V назыв самосопр, если f=f*, т.е. если (f(x),y)=(x,f(y)), /
Теор: Лиин опер f кон мерн пр-ва V явл самосопр 
относит ортонормир пр-ва V матрица опер f явл-ся симметрической.
Теор: Для люб лин опер-ра f кон мерн пр-ва V найд так ортогон опер g и так самосопр опер h, что f=gh.
Матр А назыв сим-ой, если А=АТ, т.е. 
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 683; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!