Примеры решения типовых задач
Задача 1. Случайная величина Х задана законом распределения:
| x i | 2 | 3 | 4 |
| p i | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Решение.
Найдем математическое ожидание:
M ( X ) = 2 × 0,3 + 3 × 0,4 + 4 × 0,3 = 3 .
Вычислим дисперсию по определению:
D( X ) = (2 - 3)2 × 0,3 + (3 - 3)2 × 0,4 + (4 - 3)2 × 0,3 = 0,6 .
Найдем среднее вкадратическое отклонение.
s [ X ] = = 0,77 .
Задача 2. Независимые дискретные величины X и Y заданы законами распределения.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины
Решение.
Z = 2 X + Y .
Используя свойства математического ожидания, имеем равенство
M (Z ) = M (2 X + Y ) = M (2 X ) + M (Y ) = 2M ( X ) + M (Y ) .
 |
Найдем математические ожидания случайных величин X и Y:
M [ X ] = å x k p k = -1× 0, 2 + 0 × 0, 3 +1× 0, 5 = -0, 2 + 0, 5 = 0, 3 ,
 |
k =1
M [Y ] = å y k p k = -2 × 0, 3 + 0 × 0, 7 = -0, 6 .
k =1
Подставляя в формулу M (Z ) = M (2 X + Y ) = M (2 X ) + M (Y ) = 2M ( X ) + M (Y )
найденные значения М(Х) и М(Y), получим
M (Z ) = 2 × 0, 3 + (-0, 6) = 0.
Используя свойства дисперсии, имеем равенство
D(Z ) = D(2 X + Y ) = D(2 X ) + D(Y ) = 22 × D( X ) + D(Y ) = 4D( X ) + D(Y );
Найдем дисперсию случайной величины X, пользуясь теоремой:
D( X ) = M ( X 2 ) - [M ( X )]2 .
M [ X ] = 0, 3 - рассчитано выше,
|
|
|
|
|
k =1
Тогда D( X ) = 0,7 - 0,32 = 0,61.
Аналогично найдем дисперсию случайной величины Y:
D(Y ) = M (Y 2 ) - [M (Y )]2 .
M (Y ) = -0,6 - рассчитано выше,
M (Y 2 ) = (- 2)2 × 0,3 + 02 × 0,7 = 1,2 .
Тогда
D(Y ) = 1,2 - (- 0,6)2 = 0,84 .
Подставляя в формулу
D(Y), получим
D(Z ) = 4D( X ) + D(Y );
найденные значения D(Х) и
D(Z ) = 4 × 0,61 + 0,84 = 3,28 .
Найдем среднее квадратическое отклонение:
s [Z ] = = = 1,8 .
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 51; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!