Числовые характеристики дискретной случайной величины

РАЗДЕЛ II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретная случайная величина

5.1 Основные понятия случайных величин Определение. Случайной величиной называется величина, которая в

результате испытания принимает одно и только одно значение из множества возможных.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она принимает одно из отдельных изолированных значений х₁, х₂, х₃, … , х_n, … с соответствующей вероятностью р₁, р₂, … , р_n,

…

Определение. Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка.

Например. Число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.

Случайные величины будем обозначать большими буквами латинского алфавита X, Y, Z, T,…, а значения этих случайных величин малыми буквами x, y, z, t,….

Определение. Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Пусть X - это дискретная случайная величина, которая принимает

значения

x1 ,

x2 , ...

x n  с  соответствующей вероятностью

p1 ,

p2 , ...

p n .

 

При табличном задании закона распределения случайной величины - первая строка таблицы содержит возможные значения с.в. (в возрастающем порядке), а вторая – соответствующие им вероятности:

x i	x1	x2	…	x n
p i	p1	p2	…	p n

 

Такую таблицу так же называют рядом распределения.

Так как значения {X = x₁} , {X = x₂} …, записанные в первой строке таблицы несовместны и образуют полную группу, то сумма вероятностей,

записанных во второй строке таблицы равна 1, то есть Закон распределения может быть задан

графически в  виде многоугольника

распределения вероятностей, то есть в виде ломаной, соединяющей точки (х_k, р_k).

Пример 1. Случайная величина Х  -

есть число очков, выпадающее на  верхней

p1 + p2 + ... + p n = 1.

грани игральной кости при ее однократном подбрасывании. Составить закон распределения этой случайной величины.

Решение.

Так как любое число очков при однократном бросании кости выпадает

 

xi 1 2 3 4 5 6 pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

с вероятностью вид

P = 1 , то закон распределения случайной величины имеет

6

 

Пример 2. Вероятность попадания при каждом выстреле в мишень одна и та же и равна р=0,8. Имеется три снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд, два снаряда, три снаряда, если стрельба ведется до первого попадания или промаха всеми тремя снарядами. Составить таблицу распределения случайной величины Х – числа израсходованных снарядов.

Решение.

Пусть Х – число израсходованных снарядов. Обозначим вероятность того, что будет израсходовано х_k снарядов.

Тогда Р(х=1)=p=0,8 – по условию задачи;

P( X

= x k ) -

Р(х=2)=(1-р)р=0,16 – вероятность того, что стрелок в первый раз промахнулся, второй раз попал;

Р(х=3)=(1-р)²=0,04 вероятность того, что стрелок два раза промахнулся.

Закон распределения будет иметь вид

 

xi	1	2	3
pi	0,8	0,16	0,04

 

Проверка: 0,8+0,16+0,04=1.

Пример 3. Во время сдачи экзамена, экзаменатор задал студенту четыре дополнительных вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа ответов на заданные вопросы.

Решение.

Случайная величина X может принимать одно из четырех значений: 0 – студент не ответил на все 4 вопроса;

1 – студент ответил только на один вопрос из 4-х; 2 – студент ответил только на два вопроса из 4-х; 3 – студент ответил только на три вопроса их 4-х; 4 – студент ответил на все 4 вопроса.

Для вычисления вероятностей возможных значений  случайной

величины воспользуемся формулой Бернулли P (k ) = C k p k q n -k . Здесь  n=4,

n                         n

р=0,9, q=0,1.

P( X

P( X

P( X

P( X

P( X

= 0) = q ⁴ = 0,1⁴ = 0,0001,

4

= 1) = C¹ p¹q³ = 4 × 0,9 × 0,1³ = 0,0036 ,

4

= 2) = C ² p ²q ² = 6 × 0,9² × 0,1² = 0,0486 ,

4

= 3) = C ³ p³q = 4 × 0,9³ × 0,1 = 0,2916 ,

= 4) = p ⁴ = 0,9⁴ = 0,6561 .

 

Тогда закон распределения вероятностей будет иметь вид

 

xi	0	1	2	3	4
pi	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

 

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения вероятностей, полностью задает дискретную случайною величину. Но бывают случаи, когда закон распределения не известен. Поэтому, для характеристики случайной величины вводят понятия числовых характеристик, таких как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом распределения

xi	х1	х2	…	хn
pi	р1	р2	…	рn

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайнойвеличины X называют сумму произведений значений этой случайной величины на их соответствующие вероятности, то есть

M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + x n p n = å x i p i .

i=1

 

Если число возможных значений с.в. бесконечно (счетно), то

 

M ( X ) = å x i × p i .

i=1

 

Можно показать, что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений близко к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание случайной величины Х называется центромраспределения вероятностей случайной величины.

Пример 1. Построить закон распределения для д.с.в. X – возможная оценка на экзамене (условно считать вероятность получения каждой оценки одинаковой) и найти математическое ожидание этой с.в.

Решение. При сдаче экзамена возможны следующие оценки: 2,3,4,5. Так вероятность получить любую оценку одинакова, то закон распределения можно записать в виде:

x i	2	3	4	5
p i	0,25	0,25	0,25	0,25

 

Тогда,

M ( X ) = 2 × 0, 25 + 3 × 0, 25 + 4 × 0, 25 + 5 × 0, 25 = 3, 5 .

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 55; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!