Свойства математического ожидания
10. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M (C) = C .
20. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M (CX ) = C × M ( X ) .
30. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y равно произведению математических ожиданий этих случайных величин:
M ( XY ) = M ( X )× M (Y ) .
40. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) .
Следствие: Свойства 30 и 40 будут справедливы и для большего количества случайных величин. Например, в случае трех случайных величин имеем
M ( XYZ ) = M ( X )× M (Y )× M (Z ) ,
M ( X + Y + Z ) = M ( X ) + M (Y ) + M (Z ) .
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины
Z = X - 2Y , если известно, что
M ( X ) = 5 ,
M (Y ) = 3 .
Решение. Пользуясь свойством 4 имеем:
40 20
M (Z ) = M ( X - 2Y ) = M ( X ) - M (2Y ) = M ( X ) - 2M (Y ) = 5 - 2 × 3 = -1 .
2. Дисперсия дискретной случайной величины.
Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.
|
|
|
|
|
i=1
- M [ X ])2 × p .
Пример 4. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины X,
заданной законом распределения вероятностей
| x i | 0 | 1 | 2 |
| p i | 0,5 | 0,4 | 0,1 |
Решение. Найдем математическое ожидание:
M ( X ) = 0 × 0, 5 +1× 0, 4 + 2 × 0,1 = 0, 6 .
Найдем дисперсию, пользуясь формулой, приведенной в определении:
D( X ) = (0 - 0, 6)2 × 0, 5 + (1- 0, 6)2 × 0, 4 + (2 - 0, 6)2 × 0,1 = 0, 44 .
Ответ. D( X ) = 0,44 .
Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:
D( X ) = M ( X 2 ) -[M ( X )]2 ,
где
M ( X 2 ) = å x2 × p
= x2 × p + x2 × p + ... + x2 × p .
|
i=1
1 1 2 2 n n
Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана законом распределения, пользуясь определением и теоремой:
| x i | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| p i | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Решение. Найдем математическое ожидание:
M ( X ) = 0 × 0,3 +1× 0,1+ 3 × 0,3 + 5 × 0, 2 + 7 × 0,1 = 2, 7 .
Найдем дисперсию, пользуясь определением:
D( X ) = (0 - 2, 7)2 × 0, 3 + (1- 2, 7)2 × 0,1+ (3 - 2, 7)2 × 0, 3 + (5 - 2, 7)2 × 0, 2 + (7 - 2, 7)2 × 0,1 = 5, 41
|
|
|
Найдем дисперсию, пользуясь теоремой. Для этого найдем математическое ожидание квадрата случайной величины
M ( X 2 ) = 02 × 0,3 +12 × 0,1+ 32 × 0,3 + 52 × 0, 2 + 72 × 0,1 = 12, 7 .
Тогда,
D( X ) = 12, 7 - (2, 7)2 = 5, 41 .
Таким образом, дисперсию можно вычислить двумя способами, имея при этом один результат.
Ответ.
D( X ) = 5,41.
Свойства дисперсии
10. Дисперсия постоянной величины C равна 0
D(C) = 0 .
20. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат
D(CX ) = C 2 × D( X ) .
30. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин рана сумме дисперсий этих величин
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) .
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Например, для трех слагаемых имеем
D( X + Y + Z ) = D( X ) + D(Y ) + D(Z ) .
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины:
D( X + C) = D( X ) .
40. Дисперсия разности двух независимых случайных величин рана сумме дисперсий этих величин
D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) .
Пример. Найти дисперсию следующих случайных величин: а) -3X;
б) 4X-3.
Решение. Пользуясь свойствами дисперсии имеем
|
а) D(-3X ) =(-3)
|
|
|
· D( X ) = 9 × 3 = 27 ;
40 10 ,20
б) D(4 X - 3) = D(4 X ) + D(3) = 42 × D( X ) + 0 = 16 × 3 = 48 .
Легко показать, что дисперсия измеряется в квадратных единицах, а
значения случайной величины в линейных единицах. Поэтому для оценки
рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводят новую числовую характеристику, называемую средним квадратическим отклонением.
Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют корень квадратный из дисперсии
o ( X ) = .
Пример. Случайная величина X задана законом распределения вероятностей
| x i | 2 | 3 | 10 |
| p i | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
Найти среднее квадратическое отклонение. Решение. Найдем математическое ожидание X : M ( X ) = 2 × 0,1+ 3× 0,4 +10 × 0, 5 = 6,4 .
Найдем математическое ожидание
M ( X 2 ) = 22 × 0,1+ 32 × 0, 4 +102 × 0, 5 = 54 .
X 2 :
Найдем дисперсию пользуясь теоремой:
D( X ) = M ( X 2 ) -[M ( X )]2 = 54 - (6, 4)2 = 13, 04 .
Искомое среднее квадратическое отклонение:
o ( X ) = » 3, 61 .
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 53; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!