Теорема сложения вероятностей
ПРОГРАММА
Теория вероятностей
1. Предмет теории вероятностей. Значение теории вероятностей для экономической науки. Понятие теоретико-вероятностного эксперимента (испытания). Пространство элементарных событий. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Свойства операций над событиями. Геометрическая иллюстрация.
2. Понятие вероятности. Классическое и статистическое определения вероятности. Аксиоматическое определение вероятности. Частотная трактовка вероятности случайного события. Экономические показатели и статистическая вероятность (в демографии, страховании, банковском деле и др.).
3. Понятие условной вероятности. Независимость событий. Вероятность произведения и суммы событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности гипотез, их применение в экономике.
4. Последовательности испытаний. Схема Бернулли.Пуассоновское иЛапласовское приближения формулы Бернулли.
5. Случайные величины и их классификация. Понятие закона распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные распределения. Ряд и многоугольник распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величии. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
6. Непрерывные распределения. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Равномерное и показательное распределения. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Использование функции Лапласа для определения вероятностей событий, связанных с нормально распределенной случайной величиной.
|
|
|
7. Многомерные случайные величины. Зависимость и корреляция. Функции от случайных величин.
8. Понятие о законе больших чисел. Устойчивость относительных частот и устойчивость средних. Понятие о центральной предельной теореме. Значение предельных теорем для решения экономических задач.
9. Понятие о хи-квадрат-распределении, распределении Стьюдента и распределении Фишера. Применение нормального и связанных с ним распределений в экономике.
Математическая статистика.
1. Задачи математической статистики. Основные понятия выборочного метода. Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.
2. Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Методы получения точечных оценок (метод моментов, метод максимального правдоподобия и др.). Формулы для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии, условия их применения.
|
|
|
3. Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известном и при неизвестном среднеквадратическом отклонении этого распределения. Учет объема выборки.
4. Проверка гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки гипотез. Уровень значимости. Мощность критерия. Общая схема проверки гипотезы.
5. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерии согласия.
6. Элементы корреляционного и регрессионного анализа. Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии и их свойства. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициенты регрессии и корреляции, их свойства. Прогнозирование в экономике на основе результатов корреляционного и регрессионного анализа.
Теория вероятностей
Тема 1. Классическая формула
При решении задач по данной теме рекомендуется пользоваться классической формулой для вычисления вероятности события 
где m- число благоприятных событию А случаев, n - число всех случаев в опыте.
|
|
|
Число случаев удобно находить пользуясь таблицей.
| Выборка | Упорядоченная | Неупорядоченная |
| Без повторений | 
|  
|
| С повторениями | 
| 
|
3Пример 1. Из 5 менеджеров и 6 бухгалтеров необходимо случайным образом сформировать комитет из 7 человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся четверо менеджеров и трое бухгалтеров?
Решение.
Обозначим через А рассматриваемое событие.
А – в комитете окажутся четверо менеджеров и трое бухгалтеров.
Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события где m- число благоприятных событию А случаев, n- число всех случаев.
Т.к. выборки в данном случае неупорядоченные и без повторений, то 
, 
, следовательно, 
4
3Пример 2. В комитете из 7 человек нужно выбрать председателя и секретаря. Найти вероятность того, что ими окажутся два вполне определенных человека.
Решение.
Обозначим через В рассматриваемое событие.
В - председателем и секретарем окажутся два вполне определенных человека.
Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события 
где m- число благоприятных событию В случаев, n- число всех случаев.
|
|
|
Т.к. выборки в данном случае упорядоченные и без повторений, то 
, следовательно,
4
Вопросы для самопроверки.
· События. Классификация событий.
· Сумма и произведение событий.
· Несовместные, независимые события. Полная группа событий. Противоположные события.
· Вероятность события. Аксиомы.
· Классическая формула вычисления вероятности события.
Тема 2. Основные теоремы
При изучении этих тем следует обратить внимание на полезность выделения несовместных событий и перехода к противоположным событиям, а также на связь классического и статистического определений вероятности и ее использование на практике.
Следует обратить внимание на такие понятия, как совместность и несовместность, зависимость и независимость случайных событий.
Важно разобраться с тем, как определяются условные вероятности событий, в каких условиях используется формула полной вероятности, что дает применение формулы Байеса.
При решении задач по данной теме рекомендуется пользоваться теоремами сложения вероятностей и умножения вероятностей, формулой полной вероятности, формулами Байеса и Бернулли.
Теорема сложения вероятностей
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)-Р(А1А2)-Р(А1А3)-…-
-Р(Аn-1Аn)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+…+P(An-2An-1An)- … +(-1)n-1P(A1A2…An).
Если события А1,А2,…,Аn несовместны, то
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 63; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!