Числовые характеристики выборки
РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ
ЗАПИСКА
К курсовому п р о е к т у
По теме: Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов.
Студент Алыпов. Е. Д. гр. АТП1-Т18 Специальность 15.02.07
(ф.и.о.) (шифр) (шифр)
Оценка защиты ______________________________ архивный № ___________
Студент _______________________________ (Алыпов Е. Д.)
(подпись) (ф.и.о.)
Руководитель:_____________________________ (Хайрова Д. Д.)
(подпись) (ф.и.о.)
Рецензент:_______________________________ (Хайрова Д.Д.)
(подпись) (ф.и.о.)
Нормоконтролёр: _________________________ (Хайрова В.А.)
(подпись) (ф.и.о.)
К защите допустить________________________ (Козленко Г.И.)
(подпись ПЦК по специальности) (ф.и.о.)
|
|
|
2020/2021 учебный год
г. Обнинск
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 1 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
1. Введение
2. Общая часть
2.1. Основные понятия
2.2. Показатели надёжности
2.3. Законы распределения
2.4. Числовые характеристики выборки
3. Расчётная часть
3.1. Разработка алгоритма статистического моделирования
3.2. Статистическая обработка данных
3.2.1. Вычисление основных характеристик выборки
3.2.2. Формирование статистического ряда и графическое представление данных
3.2.3. Подбор подходящего закона распределения вероятностей
3.3. Определение характеристик надежности системы
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 2 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
В связи с развитием технического прогресса все более актуальными становятся вопросы повышения надежности разнообразных технических устройств и систем — механизмов, машин, станков, аппаратов, приборов, систем автоматики, электронного оборудования и т.д. Надежность является важнейшим технико-экономическим показателем качества любого технического устройства или системы. В связи с этим при широком применении машин и исполнительных механизмов в системах автоматического управления производственными процессами технический уровень производства в большей степени определяется надежностью этих машин и систем. Отказы машин и систем в процессе эксплуатации наносят значительный материальный ущерб народному хозяйству.
|
|
|
Теория надежности машин и систем развивается относительно недавно и поэтому не может еще претендовать на законченность. Некоторые вопросы этой теории еще недостаточно разработаны и нуждаются в уточнении. Имеющиеся опубликованные неполные статистические данные об уровне надежности различных типов эксплуатируемых машин и систем в настоящее время в связи с интенсивным развитием новых методов проектирования и производства уже недостаточно полно отражают фактическое состояние проблемы надежности, в особенности на фоне совершенствования конструкций, появления новых материалов для них и т.д. Теория надежности машин и систем охватывает широкий круг вопросов, отражающих общую теорию надежности, вопросы проектирования, технологии производства и эксплуатации этих систем. В связи с этим ознакомление с этой проблемой требует знаний в области конкретных изделий и математической подготовки.
|
|
|
Надежность, в сущности, является характеристикой эффективности системы. Если для оценки качества автоматической системы достаточно характеризовать ее надежностью выполнения системой функций в различных состояниях, то надежность совпадает с эффективностью системы.
Надежность технического оборудования зависит от его проектирования и
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 3 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
Актуальностью данной курсовой работы является важность расчета надежности, при котором могут быть использованы различные методы и средства. В курсовой работе рассмотрены методы расчета надежности технических систем, виды отказов, методы её повышения, а также причины, вызывающие отказы.
Общая часть
Целью курсовой работы является изучение методов статистического моделирования применительно к задачам нахождения законов распределения времени безотказной работы и показателей надежности технических систем с использованием прикладных программных средств.
|
|
|
Техническая система S состоит из трех элементов схемы, соединения которых приведены в вариантах заданий на курсовую работу. Времена безотказной работы Х1, Х2, Х3 элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределения вероятностей. Внешняя среда Е оказывает воздействие на работу систем виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.
Требуется оценить надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 4 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
Основные понятия
В числе важнейших эксплуатационно-технических характеристик, определяющих эффективность объектов, особое место занимают показатели надежности, безотказности и живучести.
Надежность - свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки. Интуитивно надёжность объектов связывают с недопустимостью отказов в работе. Это есть понимание надёжности в «узком» смысле - свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки. Иначе говоря, надёжность объекта заключается в отсутствии непредвиденных недопустимых изменений его качества на стадии эксплуатации (при его использовании, обслуживании, хранении, транспортировании). Надёжность - комплексное свойство, которое в зависимости от назначения объекта и условий его эксплуатации может включать в себя свойства безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости, а также определённое сочетание этих свойств.
Безотказность - свойство изделия сохранять работоспособность в течение некоторого промежутка времени или вплоть до выполнения определенного объема работы без вынужденных перерывов (например, на ремонт). Обычно безотказность рассматривается применительно к режиму эксплуатации объекта. При оценке безотказность объекта перерывы в его работе (плановые и внеплановые) не учитываются. Безотказность характеризуется техническим состоянием объекта: исправностью, неисправностью, работоспособностью, неработоспособностью, дефектом, повреждением и отказом. Каждое из этих состояний характеризуется совокупностью значений параметров, описывающих состояние объекта, и качественных признаков. Номенклатура этих параметров и признаков, а также пределы допустимых их изменений устанавливаются нормативной документацией на объект.
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 5 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
Показатели надёжности
Показатели надежности - количественно характеризуют, в какой степени данному объекту присущи определенные свойства, обуславливающие надёжность. Показатели надёжности (например, технический ресурс, срок службы) могут иметь размерность, ряд других (например, вероятность безотказной работы, коэффициент готовности), являются безразмерными. Количественной характеристикой только одного свойства надёжности служит единичный показатель. Количественной характеристикой нескольких свойств надёжности служит комплексный показатель.
Вероятность безотказной работы - это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа и вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта. Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой:
(1)
где 
{\displaystyle N_{0}}- исходное число работоспособных объектов, n(t) {\displaystyle n(t)}- число отказавших объектов за время.
Вероятность отказа. Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки произойдет хотя бы один отказ. Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле
(2)
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 6 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
Q(l→∞) = 1. (3)
Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.
Интенсивность отказов. Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как 
и определяется по формуле
, 
(4)
где
(5)
Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
Законы распределения
Для анализа надёжности систем методом статистического моделирования мы рассмотрим следующие 4 распределения:
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 7 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
Это довольно универсальное распределение, охватывающее путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с логарифмически нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей и узлов технологического оборудования по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников, электроламп и т.п. Оно применяется также для оценки надежности по приработочным отказам. Распределение Вейбулла описывается функцией плотности вероятности следующего вида
(6)
где 
( > 0) - интенсивность событий (аналогично параметру экспоненциального распределения), а k - показатель не стационарности (k > 0). При k = 1, распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение, а в остальных случаях описывает поток независимых событий с нестационарной интенсивностью. При k > 1 моделируется поток событий с растущей со временем интенсивностью, а при k < 1 - со снижающейся. Область определения функции распределения плотности вероятностей: неотрицательные действительные числа.
Гамма распределение.
Гамма распределение в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр k принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределением Эрланга.
Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности, имеющей вид
(7)
где функция Г(k) имеет вид
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 8 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
(8)
и обладает следующими свойствами: 
; 
; константы k, θ > 0.
Тогда говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение с положительными параметрами θ и k. Пишут 
.
Экспоненциальное распределение.
Экспоненциальное распределение описывает интервалы времени между независимыми событиями, происходящими со средней интенсивностью . Количество наступлений такого события за некоторый отрезок времени описывается дискретным распределением Пуассона. Экспоненциальное распределение вместе с распределением Пуассона составляют математическую основу теории надёжности.
Кроме теории надёжности, экспоненциальное распределение применяется в описании социальных явлений, в экономике, в теории массового обслуживания, в транспортной логистике - везде, где необходимо моделировать поток событий.
Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения хи-квадрат (для n=2), а, следовательно, и гамма-распределения. Так-как экспоненциально распределённая величина является величиной хи-квадрат с 2-мя степенями свободы, то она может быть интерпретирована как сумма квадратов двух независимых нормально распределенных величин.
Кроме того, экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
Дискретный вариант экспоненциального распределения - это геометрическое распределение.
Плотность вероятности экспоненциально распределения:
= 
(9)
определена для неотрицательных действительных значений 
.
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 9 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
на , то получится распределение Лапласа, также называемое двойным экспоненциальным или двойным показательным.
Нормальное распределение.
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса или Гаусса - Лапласа — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:
(10)
где параметр 
- математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр 
- среднеквадратическое отклонение - (σ2 - дисперсия) распределения.
Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений, которое принадлежит экспоненциальному классу распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 
и стандартным отклонением 
.
Числовые характеристики выборки
Числовые характеристики выборки - это параметры выборки, выражающие наиболее существенные особенности статистического распределения выборки.
Выборочное среднее.
Выборочное среднее - это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него. Пусть X1, …, Xn, …- выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда её выборочным средним называется случайная величина
(11)
| Изм. |
| Лист |
| № докум. |
| Подпись |
| Дата |
| Лист |
| 10 |
| ТООН.220301.001.000.ПЗ |
Выборочная дисперсия в математической статистике - это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:
1) смещённая
2) несмещённая или исправленная
Пусть X1, …, Xn {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots } — выборка из распределения вероятности. Тогда
выборочная дисперсия — это случайная величина:
(12)
{\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}}где символ 
{\displaystyle {\bar {X}}} обозначает выборочное среднее; несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина:
(13)
Расчетная часть
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 77; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!