Свойства кватернионов (параметров Родрига-Гамильтона)

Аналогично тому, как это было сделано для матриц направляющих косинусов, выпишем некоторые наиболее значимые свойства кватернионов [11-13].

1. Кватернионы, компонентами которых являются параметры Родрига-Гамильтона, удовлетворяют условию нормировки (7.23).

2. Перепроецирование любого вектора  из одного координатного трехгранника в другой легко осуществляется с помощью соответствующего нормированного  кватерниона. Для этого вектор  записывается в виде разложения по базисам , ,  и , ,  этих трехгранников:

. Здесь a_{x 1}, a_{y 1}, a_{z 1}, a_{x 2}, a_{y 2}, a_{z 2} – координаты вектора в осях первого и второго трехгранников. После формальной замены в этих выражениях базисных векторов на мнимые единицы i, j, k выражения для перепроецирования вектора запишутся в виде

,                              (7.31)

где  – кватернион поворота от первого ко второму координатным трехгранникам.

В этой формуле выражения в скобках формально представляют собой кватернионы с нулевой скалярной частью – вектор-кватернионы. При перемножении кватернионов (и вектор-кватернионов) используются свойства (7.25) мнимых единиц.

3. Для кватернионов, описывающих последовательные повороты координатных трехгранников, справедливы следующие формулы:

;                       

;                                                                                (7.32)

.

Здесь:  – кватернион поворота от i-го к j-му координатным трехгранникам;

       * – символ комплексно-сопряженного числа (в котором коэффициенты при мнимых единицах имеют знаки, противоположные исходному комплексному числу).

При перемножении кватернионов используются свойства (7.25) мнимых единиц.

Кватернионы ориентации координатных трехгранников

Используя вышеперечисленные свойства кватернионов, несложно записать выражения для кватернионов, соответствующих таблицам 7.1÷7.16:

· кватернион  поворота от ОХ_и Y _и Z _и к ОХ YZ :

;                                                                     кватернион  поворота от ОХ YZ к О ENH (сначала по оси Z на 90°, затем по оси X на 90°):

       ;                                                     

· кватернион  поворота от О ENH к Оξηζ (для второго варианта, когда угол χ ≡ χ₂ отсчитывается от восточной оси):

;                                                                             

· кватернион  поворота от О ENH к Оξηζ (для первого варианта, когда угол χ ≡ χ₁ отсчитывается от северной оси) (при получении этой формулы использовалась формула (7.46) и учитывалось, что χ₁ = χ₂ +π/2):

;                           

· кватернион  поворота от О XYZ к Оξηζ:

;                                                                                          

· кватернион  поворота от О X _и Y _и Z _и к Оξηζ:

;                                                                                          

· кватернион  поворота от Оξηζ к О x_gy_gz_g (поворот по оси Оξ на 90°):

;                                                        

· кватернион  поворота от О x_gy_gz_g к О xyz:

;      

· кватернион  поворота от О xyz к Оξηζ:

;                                                                                          

· кватернион  поворота от О ξηζ к О xyz (сначала по оси x на 90°):

;                  

· кватернион  поворота от О ENH к О xyz (сначала по оси О E на 90°, затем по оси О N на 90°):

;   

· кватернион  поворота от О xyz к О x _л y _л z _л:

.                                                 

Кватернионы поворотов от гринвичского трехгранника ОХ YZ к географическим трехгранникам с геоцентрической и приведенной вертикалями описываются формулами вида (7.45), в которой следует заменить угол геодезической широты на геоцентрическую или приведенную.

 

---

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 149; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!