Определение ориентации с помощью векторов конечных поворотов и кватернионов

ЛЕКЦИЯ 7. Определение ориентации с помощью векторов конечных поворотов и кватернионов

Координатные трехгранники, связанные с ЛА

       Летательный аппарат как объект навигации представляет собой материальную точку, совпадающую с его центром масс, и связанный трехгранник Oxyz. Соответственно, ориентация ЛА в пространстве описывается параметрами ориентации связанного трехгранника относительно других трехгранников – нормального, опорного, географического.

Углы между осями связанного и нормального координатных трехгранников суть следующие.

Угол рыскания y – угол между осью O х _g нормальной системы координат и проекцией продольной оси O х на горизонтальную плоскость Ох _g z_g нормальной системы координат; угол считается положительным, если ось O х _g совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси O у _g по часовой стрелке, если смотреть из начала координат в положительном направлении оси O у _g.

Угол тангажа J – угол между продольной осью Ох и горизонтальной плоскостью Ох _g z_g нормальной системы координат; угол считается положительным, когда продольная ось находится выше горизонтальной плоскости Ох _g z_g .

Угол крена g – угол между поперечной осью О z и осью О z_g нормальной системы координат, смещенной в положение, при котором угол рыскания равен нулю. Угол считается положительным, если смещенная ось О z_g совмещается с поперечной осью О z поворотом вокруг продольной оси Ox по часовой стрелке, если смотреть в направлении этой оси.

Переход от связанной системы координат к нормальной системе координат осуществляется тремя последовательными поворотами на углы крена, тангажа и рыскания. Причём  последовательность поворотов определяется ГОСТ 20058-80 (рис. 8.7):

- после поворота на угол ψ:

 в матричной форме ;

- после поворота на угол J:

 в матричной форме ;

- после поворота на угол γ: 

 в матричной форме .

Обозначим матрицы поворотов на углы ψ, J и γ соответственно через M _ψ, M _J, и M _γ, а матрицу (таблицу) направляющих косинусов, осуществляющую преобразование (поворот) осей нормального трехгранника Ox_gy_gz_g к осям связанного трехгранника Oxyz, обозначим через . Очевидно, что:

= M _γ·M _J · M _ψ .                                               (7.1)

Таблица 7.1

Направляющие косинусы углов между осями трехгранников О x_gy_gz_g и О xyz

	xg	yg	zg
x	cosJcosψ	sinJ	–cosJsinψ
y	–cosγsinJcosψ + sinγsinψ	cosγcosJ	cosγsinJsinψ + sinγcosψ
z	sinγsinJcosψ + cosγsinψ	–sinγcosJ	–sinγsinJsinψ + cosγcosψ

Y

X

`V

Рис. 7.1. Углы рыскания, тангажа, крена и их производные

Связь между элементами матрицы , и значениями углов ψ, , и γ  выражается формулами

,    ,   .    (7.2)

В авиационной навигации привязку в горизонтальной плоскости связанного трехгранника к земной системе координат осуществляет угол курса, которым называется угол между вертикальной плоскостью, принятой за начало отсчёта, и проекцией продольной оси летательного аппарата на плоскость горизонта. Угол отсчитывается по часовой стрелке в пределах от нуля до 360°.

- гироскопический курс y_г – угол, отсчитанный от вертикальной плоскости (Оξζ), проходящей через первую ось опорного трехгранника.

На рис. 7.2 показана проекция Ох_г продольной оси летательного аппарата на горизонтальную плоскость и различные углы, определяющие ее ориентацию в этой плоскости.

N

                                      

а) первый вариант опорного трехгранника б) второй вариант опорного трехгранника

                              в) угол рыскания и гироскопический курс

Рис. 7.2. Углы ориентации продольной оси летательного аппарата в плоскости горизонта

Очевидно, что вид связи истинного и гироскопического курсов существенно зависит от того, как задана ориентация опорного трехгранника – по первому или по второму варианту. Соответствующие выражения имеют вид

- для первого варианта (угол χ отсчитывается по часовой стрелке от северной оси):

                                          ψ_и = ψ_г + χ;                                                                        (7.3а)

- для второго варианта (угол χ отсчитывается по часовой стрелке от восточной оси):

                                          ψ_и = ψ_г + χ + π/2.                                                               (7.3б)

Выражения, связывающие гироскопический курс и угол рыскания (при условии, что оси Оξ и О x_g совпадают), для обоих вариантов имеют вид:

                                          ψ_г = 2π – ψ.                                                                       (7.3в)

Используя выражения (7.3) и таблицы 8.1,

И таблицу 8.2

Таблица 8.2

Направляющие косинусы углов между осями трехгранников Оξηζ и О x_gy_gz_g

	ξ	η	ζ
xg	1	0	0
yg	0	0	1
zg	0	– 1	0

 

запишем таблицу (матрицу)  направляющих косинусов между осями связанного и опорного трехгранников в виде 7.2.

Таблица 7.2

Направляющие косинусы углов между осями трехгранников О xyz и Оξηζ

	x	y	z
ξ	cosJcosψг	– cosγsinJcosψг – sinγsinψг	sinγsinJcosψг – cosγsinψг
η	– cosJsinψг	cosγsinJsinψг – sinγcosψг	– sinγsinJsinψг – cosγcosψг
ζ	sinJ	CosγcosJ	– sinγcosJ

 

Связь между элементами матрицы , и  значениями углов ψ_г, , и γ выражается формулами:

,  ,   .    (7.4)

Отметим, что выражения таблицы 7.2 и формулы (7.4) справедливы для любого варианта задания ориентации осей опорного трехгранника.

       Значительный практический интерес представляют выражения, описывающие ориентацию связанного трехгранника относительно географического. Соответствующие таблицы направляющих косинусов несложно получить из таблицы 7.2, используя формулы (7.3), в которых следует положить, что χ ≡ 0. Воспользуемся первым вариантом опорного трехгранника (хотя результат, очевидно, не зависит от вида опорного трехгранника). Получим, что при χ ≡ 0 ось Оξ совпадет с осью ON, ось Оη – с осью (– OE), угол ψ_и – с углом ψ_г. Заменив в таблице 7.2 величину ψ_и на ψ_г, и поменяв местами первую и вторую строки, предварительно умножив вторую строку на (–1), получим таблицу (матрицу) направляющих косинусов между осями трехгранников Оху z и OENH, которую обозначим через .

Таблица 7.3

Направляющие косинусы углов между осями трехгранников О xyz и О ENH

	x	y	z
E	cosJsinψи	– cosγsinJsinψи + sinγcosψи	sinγsinJsinψи + cosγcosψи
N	cosJcosψи	– cosγsinJcosψи – sinγsinψи	sinγsinJcosψи – cosγsinψи
H	sinJ	CosγcosJ	– sinγcosJ

Связь между элементами матрицы , и  значениями углов ψ_и, , и γ выражается формулами:

,     ,   .    (7.5)

       Приведем также вид таблицы направляющих косинусов между осями связанного Оху z и горизонтированного Ox _г y _г z _г трехгранников – см. табл. 7.17.

Таблица 7.4

Направляющие косинусы углов между осями трехгранников О x _г y _г z _г и О xyz

	x г	y г	z г
x	cosJ	sinJ	0
y	–cosγsinJ	cosγcosJ	sinγ
z	sinγsinJ	–sinγcosJ	cosγ

 

Определение ориентации с помощью векторов конечных поворотов и кватернионов

       Таблицы (матрицы) направляющих косинусов осей координатных трехгранников – наглядный, но не единственный способ задания их ориентации. Существуют менее наглядные, но более удобные для синтеза алгоритмов обработки измерительной информации способы, основанные на применении векторов конечных поворотов и параметров Родрига-Гамильтона, или кватернионов [11, 12, 13]. Широкое применение эти способы нашли при расчёте углов ориентации в бесплатформенных инерциальных системах.

---

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 555; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!