Матрицы концевых усилий, перемещений концевых сечений

И внутренней жёсткости типовых элементов плоских стержневых систем

EIj = const EAj = const Тип 1 Тип и схема элемента	Расчётный случай	С т р у к т у р а   м а т р и ц		М а т р и ц а Kj в н у т р е н н е й ж ё с т к о с т и  э л е м е н т а
		концевых усилий s j , k ( s j,S )	перемещений концевых сечений aj , i ( от  Zi = 1 )
l j ij = EIj / l j   и  iN , j = E А j / l j – погонные жёсткости  j -го элемента (изгибная и продольная)             Qbj ,… Nbj ,…                                                                   Nej ,…                                      Qej,…                 qbj,i	общий	M bj,… Qbj,… Nbj,… Mej,… Qej,… Nej,… «…» = « k » или « S »	qbj,i v bj,i ubj,i qej,i v ej,i uej,i
	частный Dl j = 0;  Nbj = Nej	M bj,… Qbj,… Mej,… Qej,…	qbj,i v bj,i qej,i v ej,i
Тип 2                      l j Обозначения и  правила знаков концевых усилий  и перемещений концевых сечений – такие же,  как для элемента типа 1,  но qej , i и  Mej ,… = 0  не описываются	общий	M bj,… Qbj,… Nbj,… Qej,… Nej,…	qbj,i v bj,i ubj,i v ej,i uej , i
	частный Dl j = 0; Nbj = Nej	M bj,… Qbj,… Q ej,…	qbj,i v bj,i v ej,i

 

Окончание таблицы 1.3

 

Тип 3 (безызгибный стержень при растяжении-сжатии)                   l j	общий	Nbj ,… Nej ,…	ubj , i uej , i
	частный Dl j = 0 (EAj = )	Стержень учитывается  как линейная связь, при отсутствии температурных воздействий  в число расчётных элементов системы  не включается
Тип 4 (поперечно нагруженный стержень)                       l j	общий	Qbj ,… Nbj ,… Qej ,… Nej ,…	v bj,i ubj,i v ej,i uej,i
	частный Dl j = 0;  Nbj = Nej	Qbj ,… Qej ,…	v bj , i v ej,i

 

       

38. Почему КУМП можно истолковывать как разрешающие уравнения задачи расчёта заданной системы (синтез статической, кинематической и физической сторон задачи)? (см. [ 5 ])

 

39. Как после вычисления основных неизвестных Z (решения КУМП) определяются искомые силовые факторы в заданной системе? (31)

 Если перемещения        Z₁ , Z₂ , …, Z_n  найдены правильно,  то усилия в ОСМП могут считаться равными ( с  допустимыми вычислительными погрешностями ) искомым усилиям в заданной рассчитываемой системе. Согласно принципу суперпозиции воздействий,

                      ( 1.26 )

где S_k – усилия в k - м единичном состоянии ОСМП ( от Z_k = 1 );

S_S – усилия в ОСМП от заданных воздействий.

 

40. Матричные формулы для вычисления искомых силовых факторов:

А) в концевых сечениях элементов ОСМП; (39)

     Искомые усилия в концевых сечениях элементов:

                           .                ( 1.41 )

     Заметим, что в ( 1.41 ) aZ = D – перемещения концевых сечений, вызванные действительными перемещениями узлов Z .

     Подстановка выражений ( 1.40 ) в ( 1.41 ) даёт матричные формулы для определения усилий в концевых сечениях:

 

     Частные случаи формул ( 1.42 ):

– при силовых воздействиях:

   

– при температурных воздействиях ( F_u = 0 ):

( 1.44.1 ) ( 1.44.2 )

             

( 1.45.1 ) ( 1.45.2 )

– при кинематических воздействиях ( F_u = 0 ):

             

 

 

Б) в требуемом наборе (в т.ч. в произвольно назначенных

Сечениях). (39, 40)

Если требуется определить не концевые усилия S, а силовые факторы в специально назначенном наборе , то вместо

зависимостей ( 1.41 ) используется

                                                                       ( 1.46 )

где – силовые факторы в единичных состояниях  и от за-

        данных воздействий – в том же наборе, что и искомые .

     При этом для вычисления получаются формулы

( 1.47.1 ) ( 1.47.2 )

 

 

41. Сколько и каких (перечислить) исходных матриц необходимо составить для выполнения расчёта с результатами по вариантам (а) и (б) предыдущего вопроса? – самостоятельно.

 

42. Из каких частей (блоков) состоят матрицы S₀ , a, K, S_S , c, F_u? (34 – 39)

a = [ a₁ a₂ … a_i … a_n ] – матрица перемещений концевых се-

ничных состояниях;

                                           чений элементов ОСМП во всех еди-

 

где a_i – вектор перемещений концевых сечений элементов, в i - м единичном состоянии ОСМП ( от единичного смещения i - й введённой связи, Z_i = 1 ;

 

S₀ = [ S₁ S₂ … S_i … S_n ]  – матрица усилий в концевых сечени-

                                             ях элементов ОСМП  во всех единич-

                                           ных состояниях.

 

K – матрица внутренней жёсткости основной системы МП,

         формируемая как блочная диагональная из матриц внут-

         ренней жёсткости элементов ОСМП:

                            K = diag [ K₁ K₂ … K_j … K_m ]

Порядок и структура матрицы K_j   j - го элемента определяется его типом.

 

S_S  – матрица усилий в концевых сечениях элементов ОСМП

           от заданных воздействий ( нагрузок,  изменений темпе-

          ратуры, смещений связей);

   S_j,S – матрица концевых усилий j - го элемента ОСМП от за-

          данных воздействий;

 

     Вектор перемещений расчётных узлов с _i и матрица узловых нагрузок F_u формируются из блоков, каждый из которых относится к определённому узлу: 

                                            ( 1.34 )

где  c_{t , i} – вектор перемещений t - го узла в i - м единичном состо-

          янии ОСМП;

   F_t – матрица нагрузок в t - м узле; 

          для жёсткого узла плоской системы:

– угол поворота,                                                        – линейное перемещение, параллельное оси у,  узла t – линейное перемещение, параллельное оси х, от Zi = 1;

– момент,                                                        – сосредоточенная сила, параллельная оси у,      в узле t ; – сосредоточенная сила, параллельная оси х,

х , у – глобальные ( общие для всей системы ) оси координат;      

           для шарнирного узла не описываются q_{t , i} и M_t .

 

43. Связь между матрицами S₀, a, K . (36)

  S₀ = K a ,                                 

 

44. Какую структуру (поблочно) и размеры (число строк и столбцов) имеют матрицы S₀, a, K, S_S , c и F_u? (34 – 39)

см.43

45. Как взаимно согласуются размеры и структура этих матриц?

  (35)

     Векторы a_i , S_k и матрица S_S имеют одинаковое число строк.

       У вектора c_i и матрицы F_u одинаковое число строк; количество столбцов F_u равно n_V . Правила знаков для компонентов векторов c_{t , i} и F_t см. на с. 61.

46. Какой смысл имеют компоненты i-го столбца матрицы а ? f-го столбца матрицы S_S? (34, 35)

a_i – вектор перемещений концевых сечений элементов, в i - м единичном состоянии ОСМП ,от единичного смещения i - й введённой связи, Z_i = 1 ;

 

столбец S_{S, f}  – усилия f-го варианта воздействия

 

47. Какие характеристики элементов ОСМП используются при формировании матрицы внутренней жёсткости K? (16, 36 – 38)

Жесткостные характеристики и длина стержня (  погонные  жёсткости  j - го  элемента)

 

48. Определить кинематическим методом r_ik и/или R_iF ( i и k – по заданию ) в выбранной ОСМП. (50)

 

49. Что получается в результате выполнения следующих матричных операций (34 – 36, 39 – 40):

 а)
б)       
в)     
г)  

д)        S₀ = K a
е)        r = a ^т S₀
ж) r = a^т K a .                                

з)
и)

к)    

л)           (МИНУС)

Формулы для определения усилий в концевых сечениях:

м)     

н)   

При силовых воздействиях:

р)         

с)   

т) – при температурных воздействиях ( F_u = 0 )    

у) – при кинематических воздействиях ( F_u = 0 )

 

Силовые факторы в специально назначенном наборе:

о)    

п)         
     Искомые усилия в концевых сечениях элементов:

 

50. Полная проверка результатов расчёта системы методом перемещений, её составные части. (32)

     Полная проверка результатов расчёта деформируемой системы методом перемещений состоит из двух частей:

     1) статическая проверка, заключающаяся в том, что при найденных значениях силовых факторов и заданных нагрузках выполняется контроль выполнения условий равновесия 

          а) узлов,

          б) произвольно выделенных частей системы,

          в) системы в целом;

5

     2) кинематическая ( деформационная ) проверка – вычисление перемещений, которые в заданной системе заведомо равны нулю ( по направлениям жёстких связей ).

 

51. Какая из частей полной проверки результатов расчёта – статическая или кинематическая – является главной и почему? (32)

     В методе перемещений главной является статическая проверка, так как с её помощью контролируется выполнение исходного требования статической эквивалентности ОСМП и рассчитываемой системы ( см. стр. 20 ), а именно – обеспечения равновесия ОСМП при нулевых значениях реакций связей, введённых в расчётные узлы.

52. Содержание и приёмы статической проверки. Могут ли выполняться условия равновесия при наличии ошибок (каких?) в решении задачи? (32, 40, 74)

         Статическая проверка, заключающаяся в том, что при найденных значениях силовых факторов и заданных нагрузках выполняется контроль выполнения условий равновесия 

          а) узлов,

          б) произвольно выделенных частей системы,

          в) системы в целом;

     Статическая проверка заключается в определении матрицы реакций связей, введённых в расчётные узлы, по теореме о возможных работах концевых усилий и узловых нагрузок,  с использованием найденных усилий S:

                                                               ( 1.48 )

при этом если усилия S вычислены правильно, то все компоненты матрицы реакций, имеющей n строк и n_V столбцов, должны быть равными нулю, то есть R = 0.

 

53. Сущность и техника выполнения кинематической проверки результатов расчёта методом перемещений.

(32, 76) В каком случае кинематическая проверка не нужна? (33)
Кинематическая ( деформационная ) проверка – вычисление перемещений, которые в заданной системе заведомо равны нулю ( по направлениям жёстких связей ).

   Кинематическая ( деформационная ) проверка – выполняется с использованием статически определимой основной системы метода сил, в которой определяются суммарные единичные усилия от Х₁ = 1, Х₂ = 1, …, Х _n = 1 ( рис. 2.29 ).

 

                                          Рис. 2.29

     Обобщённое перемещение  по направлениям лишних связей, которое при отсутствии ошибок в результатах расчёта должно быть равным нулю, находим по формуле, получающейся из ( 1.30 ) как частный случай для рассматриваемой рамы с одной упругой опорной связью:     

В случае расчёта методом перемещений статически определимой деформируемой системы кинематическая проверка результатов не выполняется, так как в системах без лишних связей условия совместности перемещений и кинематические граничные условия удовлетворяются автоматически.

 

 

54. Формулы кинематической проверки (универсальной и раздельной, в обычной и матричной формах) при силовых, температурных и кинематических воздействиях. (32, 40)

Для выполнения этой проверки используются усилия в выбранной вспомогательной ОСМС от единичного основного неизвестного метода сил X_i = 1. Перемещение по направлению i - й удалённой лишней связи, которое должно быть равным нулю, определяется как

( 1.28 )

где , , – соответственно внутренние усилия, реакции

                          упругих и смещаемых связей в ОСМС от X_i = 1;

             S и R_j – найденные расчётом по методу перемещений

                           внутренние усилия и реакции упругих связей.

     Наряду с частными ( раздельными ) проверками = 0 (?) ( i = ) может выполняться универсальная кинематическая проверка = 0 (?). Обобщённое перемещение по направлениям всех удалённых лишних связей

( 1.29 )

где , , – суммарные единичные силовые факторы в ОСМС от одновременно приложенных всех основных неизвестных X₁ = 1, X₂ = 1, …, = 1.

     В общем случае деформации плоской системы при комбинированных воздействиях

( 1.30 )

 

 

 

55. Особенности расчёта деформируемых систем методом перемещений (см. [ 5 ]):

   а) обусловленные характером воздействия (силовое, температурное, кинематическое);

 

б) для систем разных типов (балки, арки, рамы, фермы, комбинированные системы).

 

---

Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 101; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!