От некоторых видов воздействий
А) в обычной форме – развёрнутое и компактное представления; (21)
В компактном виде:
, ( 1.13 )
В развёрнутом виде:
|
|
б) в матричной форме – поэлементная и укрупненная записи.(22)
или ( 1.15 )
r Z RS
20. Раскрыть смысл:
А) системы КУМП в целом; (21)
Система канонических уравнений в целом по сути – статические условия эквивалентности основной системы МП и заданной системы при одинаковых воздействиях и истинных
перемещениях Z расчётных узлов; по форме – отрицание полных
реакций всех дополнительных связей в расчётных узлах.
б) произвольного (i-го) канонического уравнения; (22)
Произвольное ( i - е ) уравнение – отрицание полной реакции i - й введённой связи в ОСМП ( суммарной реакции Ri от заданных воздействий ( S ) и одновременных смещений всех введённых связей, равных истинным перемещениям Z расчётных узлов ).
в) левой части i-го канонического уравнения; (22)
Левая часть i - го уравнения – полная реакция i - й введённой связи в ОСМП ( суммарная реакция Ri от заданных воздействий ( S ) и одновременных смещений всех введённых связей, равных истинным перемещениям Z расчётных узлов ).
г) свободного члена i-го канонического уравнения RiS (RiF , Rit , Ric ); (22)
|
|
Свободный член i - го уравнения RiS – реакция i - й введён-ной связи в ОСМП от заданных воздействий ( S ).
д) слагаемого rik Zk ; (22)
Слагаемое rik Zk i - го уравнения – реакция Rik i - й введён-ной связи в ОСМП от смещения k - й связи, равного истинному перемещению Zk .
е) коэффициента rik . (22)
Коэффициент rik принеизвестном Zk в i - м уравнении – реакция i - й введенной связи в ОСМП от единичного смещения k - й связи Zk = 1 ( единичная реакция ).
21. Как называется и какой смысл имеет матрица r коэффициентов КУМП? (23)
r – матрица коэффициентов КУМП – матрица внешней жёсткости основной системы МП по направлениям основных неизвестных Z ;
22. Как называются и какой смысл имеют коэффициенты rii ? коэффициенты rik (22)
Собственные единичные реакции r11, r22 , …, rii , …, rnn введённых связей в ОСМП называются главными коэффициентами канонических уравнений МП, а величины – побочными реакциями (побочными коэффициентами уравнений).
23. Обозначить на схеме ОСМП и истолковать смысл rik (i и k – по заданию) и/или RiF . (см. рис. 2.6, 2.11, 2.12)
24. Свойства компонентов матрицы r. Теорема о взаимности единичных реакций в ЛДС (теорема Рэлея). (23)
|
|
1) матрица r – квадратная n - го порядка, невырожденная
( ), положительно определённая ( Det (r) > 0 ), симметричная относительно главной диагонали;
2) главные коэффициенты – собственные реакции rii – существенно положительные ( rii > 0 );
3) побочные коэффициенты ( побочные реакции введённых связей ) – попарно равные ( rik = rki ); они могут быть и положительными, и отрицательными, и нулевыми;
|
По теореме Рэлея о взаимности единичных реакций rik = rki .
25. Какой должна быть сумма компонентов матрицы r – положительной? отрицательной? равной 0? любой? (23)
Сумма компонентов матрицы жёсткости существенно положительная:
26. Каким главным требованиям должны удовлетворять деформированные состояния ОСМП при единичных смещениях связей и при заданных воздействиях? (47)
В единичных состояниях перемещения и деформации элементов таковы, что выполняются условия их совместности в узлах и кинематические граничные условия в опорных закреплениях.
27. Типы элементов ОСМП, стандартные задачи для них, табличные эпюры и способы их получения. (26)
|
|
Типовые стержневые элементы в общем случае различаются по
– способам закрепления концов в узлах ( внутренних или опорных ) выбранной основной системы;
– виду деформации ( изгиб, растяжение-сжатие, сложное сопротивление );
– закону изменения жёсткости ( при изгибе, растяжении-сжатии, кручении ) по длине стержня.
В плоских стержневых ОСМП выделяют четыре основных типа элементов постоянного сечения ( рис. 1.19 ).
Тип 1 Тип 2
EI = const EI = const
Тип 3 Тип 4
EA = const EI = const
Рис. 1.19
Для элементов 1-го и 2-го типов возможен учёт сдвига при поперечном изгибе ( при этом считается, что GA / kt = const ); для элементов 3-го и 4-го типа деформация сдвига в расчёте по методу перемещений не имеет значения.
Элементы 1-го, 2-го и 4-го типов могут рассматриваться одновременно и как изгибаемые, и как продольно деформируемые с жёсткостью ЕА = const.
Шарнир у элемента 2-го типа может располагаться на любом конце – левом или правом.
|
|
В случае примыкания конца некоторого стержня к опорному узлу его защемление или шарнирное опирание может быть подвижным: .
Если элемент 3-го типа абсолютно жёсткий ( , то при отсутствии температурных воздействий стержень может
рассматриваться как линейная связь.
Стандартные задачи для типовых элементов ОСМП – определение реакций концевых связей ( усилий в концевых сечениях ) и внутренних силовых факторов ( эпюр M, Q, N ) от следующих воздействий:
1) от смещений концевых связей (кинематических воздействий):
а) поворота на угол q защемлённого конца стержня ( для элементов 1-го и 2-го типов );
б) линейного смещения D конца стержня относительно его противоположного конца:
– по нормали к исходной ( недеформированной ) продольной оси;
– в направлении исходной продольной оси;
2) от силовых воздействий – стандартных нагрузок ( произвольно расположенной одиночной сосредоточенной силы или сосредоточенного момента; нагрузки, распределённой по определенному закону, в частности, равномерной );
3) от изменения температуры.
Решения стандартных задач получаются методом сил или методом начальных параметров. Они приведены в табл. 1.1 и 1.2 ( без учёта влияния сдвига ). Аналогичные данные с учётом сдви-га представлены в приложении ( см. также [ 6 ] ).
Если нагрузка F или q – наклонная к оси j-го элемента ( рис. 1.20 ), то в формулы таблиц 1.1 и 1.2 для характерных ординат эпюр М следует подставлять:
– вариант 1 – вместо F или q – нормальные к оси стержня составляющие нагрузок Fyj = F sin g или qyj = q sin2 g;
– вариант 2 – вместо длины стержня lj – длину его проекции, пер-
пендикулярной к направлению действия нагрузки: l0j = l j sin g.
Для определения Q используются Fyj и qyj .
| |||
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| |||||
Эпюры внутренних силовых факторов
в типовых элементах постоянного сечения плоских ОСМП
От смещений концевых сечений
Тип элемента | В и д с м е щ е н и я | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поворот
| Взаимное линейное смещение концевых сечений D | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 1 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 2 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 3 ( для типов 1 и 2 – так же ) | EAj = const
M = 0, Q = 0
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 4 |
M = 0, Q = 0 |
Эпюры внутренних силовых факторов
в типовых элементах постоянного сечения плоских ОСМП
От смещений концевых сечений
Тип элемента | В и д с м е щ е н и я | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поворот
| Взаимное линейное смещение концевых сечений D | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 1 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 2 |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 3 ( для типов 1 и 2 – так же ) | EAj = const
M = 0, Q = 0
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 4 |
M = 0, Q = 0 |
Эпюры внутренних силовых факторов
в типовых элементах постоянного сечения плоских ОСМП
от некоторых видов воздействий
Тип элемента | Н а г р у з к и | Изменение температуры | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сосредоточенная сила | Сосредоточенный момент | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 1
|
|
| M
|
Dtnr , j = Dt1j – Dt2j Q = 0, N = – aj Dt0j EAj М и N даны для Dtnr, j > 0 иDt0j > 0 соответственно | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 2 |
| F
xl lj xr lj
| M
|
lj N = – aj Dt0j EAj | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т и п 3 |
| F
F xr F xl | M = 0, Q = 0 N – как для элементов 1-го и 2-го типов |
Примечания: 1). Для элемента типа 4 эпюры М и Q от поперечных нагрузок – как в однопролётной балке, шарнирно опёртой по концам.
2). При вычислении изгибающих моментов в концевых сечениях элемента по приведённым в таблице формулам в случае загружения
сосредоточенным моментом М может получиться отрицательное число. Это означает, что ордината эпюры М должна быть отложена
от оси эпюры в противоположную сторону по сравнению с изображённой на схеме в таблице.
28. Методы и способы определения коэффициентов и свободных членов КУМП. (23)
Коэффициенты ( единичные реакции ) и свободные члены ( реакции введённых связей от заданных воздей-
ствий ) канонических уравнений МП могут определяться
1) статическим методом – из условий равновесия узлов ( способ вырезания узлов ) или частей основной системы ( способ отсечения частей );
2) кинематическим методом в двух вариантах:
– через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок: *);
– способом «перемножения» эпюр:
; ( 1.16 )
|
где и – внутренние силовые факторы и реакции упругих связей от заданной нагрузки ( силового воздействия ) в любой статически определимой системе, полученной из рассчитываемой системы удалением лишних связей;
eS , t – свободные (нестеснённые) температурные деформации, соответствующие силовым факторам S ;
D(j) – компоненты заданных смещений связей;
Si, Rj,i и R(j), i – внутренние усилия, реакции упругих и смещаемых связей в i - м единичном состоянии ( от Zi = 1 )
CS – жёсткость сечения стержня при деформации, соответствующей усилию S;
Cj – жёсткость j-й упругой связи.
Для плоской стержневой системы:
; ( 1.18 )
( 1.19 )
Применение любого из указанных способов требует знания внутренних силовых факторов в элементах основной системы от различных воздействий – силовых, температурных ( заданных нагрузок и изменений температуры ) и кинематических ( заданных смещений связей, а также единичных смещений дополнительных связей в расчётных узлах ). Для этого служат результаты решения стандартных задач для типовых элементов ОСМП, которые даны в следующем параграфе.
29. Статический метод нахождения rik и RiF , его разновидности (способы). (24)
Статическим методом – из условий равновесия узлов ( способ вырезания узлов ) или частей основной системы ( способ отсечения частей );
30. Кинематический метод определения реакций связей (идея) и его варианты (способы). (24)
) кинематическим методом в двух вариантах:
– через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок: *);
– способом «перемножения» эпюр:
; ( 1.16 )
|
где и – внутренние силовые факторы и реакции упругих связей от заданной нагрузки ( силового воздействия ) в любой статически определимой системе, полученной из рассчитываемой системы удалением лишних связей;
eS , t – свободные (нестеснённые) температурные деформации, соответствующие силовым факторам S ;
D(j) – компоненты заданных смещений связей;
Si, Rj,i и R(j), i – внутренние усилия, реакции упругих и смещаемых связей в i - м единичном состоянии ( от Zi = 1 )
CS – жёсткость сечения стержня при деформации, соответствующей усилию S;
Cj – жёсткость j-й упругой связи.
31. Теорема об определении реакций связей через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок. (24)
Теорема: реакция RiS i - й связи от заданного воздействия ( S ) равна разности между возможной работой концевых усилий всех элементов системы от воздействия S на перемещениях концевых сечений от единичного смещения i- й связи ( от Zi = 1 ) и возможной работой узловых нагрузок состояния S на перемещениях узлов от Zi = 1; rik – частный случай, где состояние k – от единичного смещения k - й связи ( от Zk = 1 ).
32. Матричная формулировка теоремы (вопрос 31) и её частные случаи (кинематические воздействия, только узловые нагрузки, определение реакций в единичных состояниях). (34)
33. Матричные выражения для вычисления:
а) величин rik , RiS , RiF , Rit , Ric ; (34)
б) матриц r , RS , RF , Rt , Rc . (35, 39)
Вся матрица внешней жёсткости вычисляется по формуле
r = a т S0 , ( 1.35 )
где a = [ a1 a2 … ai … an ] – матрица перемещений концевых сечений элементов ОСМП во всех единичных состояниях;
S0 = [ S1 S2 … Si … Sn ] – матрица усилий в концевых сечениях элементов ОСМП во всех единичных состояниях.
( 1.39 )
где c = [ c1 c2 … ci … cn ] – матрица перемещений расчётных
узлов ОСМП во всех единичных
состояниях.
34. Как выполняются универсальная и построчная проверки коэффициентов КУМП? (25, 26, 51)
Вычисленные коэффициенты и свободные члены канонических уравнений должны быть проверены, для чего используется способ «перемножения» эпюр и суммарные единичные силовые факторы – внутренние усилия S s от одновременных единичных смещений всех связей, введённых в расчётные узлы
( Z1 = 1, Z2 = 1, …, Zn = 1 ), реакции упругих связей Rj , s ( ) и реакции R(j),s связей с заданными смещениями D(j) ( ):
1) собственная обобщённая суммарная единичная реакция rss всех введённых связей, вычисляемая по формуле
( 1.20 )
должна быть равна сумме всех коэффициентов КУМП ( это универсальная проверка коэффициентов ):
; ( 1.21 )
2) суммарная единичная реакция i - й связи
( 1.22 )
должна быть равна сумме коэффициентов i - го канонического уравнения ( это построчная проверка коэффициентов, производимая при невыполнении условия ( 1.21 ) ):
( 1.23 )
3) обобщённая ( суммарная ) реакция R sS всех введённых связей от заданных воздействий, вычисляемая по формуле
( 1.24 )
должна быть равна сумме всех свободных членов КУМП:
. ( 1.25 )
Суммарные реакции ris , rss , R iS и R sS можно вычислять также через возможные работы концевых усилий и узловых нагрузок:
Дополнительными проверками коэффициентов, основанными на использовании свойств единичных реакций связей, могут служить
а) контроль положительности собственных реакций rii ;
б) сопоставление значений пар реакций rik и rki , вычисленных различными способами и приёмами ( статическими – из условий равновесия разных узлов или частей ОСМП, либо кинематическими ) – они должны удовлетворять условию взаимности rik = rki .
35. Матрицы внешней и внутренней жёсткости ОСМП, их связь. (36)
K – матрица внутренней жёсткости основной системы МП, формируемая как блочная диагональная из матриц внутренней жёсткости элементов ОСМП:
K = diag [ K1 K2 … Kj … Km ] .
Второй вариант определения матрицы r внешней жёсткости ОСМП – через матрицу её внутренней жёсткости K, не требующий нахождения усилий в единичных состояниях:
r = aт K a .
36. Матрицы внутренней жёсткости элементов ОСМП разных типов, их структура, смысл компонентов и способы формирования. (23, 36, 37)
Компоненты матрицы внешней жёсткости r – реакции связей в расчётных узлах ОСМП от их единичных смещений; i - я строка матрицы – значения реакции i - й связи от смещений ( по-следовательно ) Z1 = 1, Z2 = 1, …, Zk = 1, …, Zn = 1; k - й столбец матрицы – реакции всех связей от единичного смещения k - й связи ( от Zk = 1 ).
|
|
37. Общий и частный случаи исходных матриц (смещений концевых сечений и концевых усилий) для элементов разных типов; условия применения частного случая. (37)
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!