Общие указания по выполнению лабораторной работы

Целью лабораторной работы является углубление и закрепление знаний студентов по оценке параметров распределения случайных величин на основе данных эксперимента, а также получение навыков численного анализа соответствия данных нормальному закону распределения, что имеет практическое значение при проверке выполнения условий применения различных методов проектирования РЭС, в том числе и методов регрессионного анализа. В процессе выполнения лабораторной работы студент должен уметь практически применять полученные знания и навыки для:

- подготовки исходных данных и решения на ЭВМ задач по оценке параметров распределения случайных величин на основе данных эксперимента;

- численного расчета статистических характеристик и коэффициентов корреляции в случае нормального закона распределения, построения гистограммы и полигона частот по данным эксперимента;

- проверки гипотезы о нормальном законе распределения по c ²-критерию Пирсона;

составления и отладки прикладных программ; исследования и оценки эффективности методов решения поставленной задачи.

На выполнение лабораторной работы отводится восемь часов. Перед выполнением лабораторной работы студент должен самостоятельно выполнить домашнее задание в соответствии с данными методическими указаниями.

К выполненной работе прилагаются необходимые схемы, эскизы, тексты и результаты расчета программ, протоколы работы с программным комплексом (для студентов заочного обучения) и другие материалы согласно указаниям по оформлению отчета. 

 

Домашнее задание и методические указания по его выполнению

При выполнении домашнего задания студент должен ознакомиться с постановкой и методами решения задач оценки параметров распределения случайных величин и корреляционного анализа. Для этого необходимо воспользоваться литературой /1/.

Величина, которая в результате некоторого эксперимен­та с заранее непредсказуемым исходом каждый раз принимает одно из возможных значений, называется случайной.

Пусть исход эксперимента (опыта, наблюдения) представляет­ся некоторой случайной величиной y. При     N-кратном повторении получают конкретный ряд значений y ₁ , …, y_N, кото­рый называется конечной выборкой объема N (выборочной сово­купностью) из генеральной совокупности, содержащей все воз­можные значения случайной величины y (N ® ¥). На практике вид и параметры дифференциальной функ­ции распределения точно неизвестны и информация о характерис­тиках случайной величины может быть получена с помощью экс­перимента.

Для построения эмпирического графика распределения случай­ной величины у по результатам наблюдений в порядке их воз­растания формируется ряд распределения, который оформляется в виде таблицы, где перечислены и указаны границы j-х интер­валов возможных значений случайной величины y и соответствую­щихим вероятностей p_j появления у в соответствующих j-x интер­валах.

Для каждого интервала (y_{j -1} , y _j) определяются число попавших в него элементов N_{j ,}  относительная частота n _{j =} N_j / N, и строится график N ( y ), который может быть представлен в виде либо гисто­граммы, либо полигона частот.

Коэффициент парной корреляции является показателем тесноты и направления корреляционной связи двух случайных перемен­ных, и его значение находится в пределах -1 £ R_xy £+1. При отсутствии корреляционной связи между двумя случайными переменными коэффициент парной корреляции R_xy = 0, в этом случае корреляционная связь между переменными х и у отсутст­вует. Если связь между двумя переменными линейная и функциональная, тогда R_xy = +l или R_xy = -1.                      

Пример. Дана выборка значений выходного параметра y_i ( i =1, N ) объемом N = 130: y ₁ = у _min = 8; у₂ = 9,2; ...;                   у _N = у _max = 54. Требуется построить эмпирическую плотность вероятности случайной величи­ны у.

Решение: 

Определяем приближенное число интервалов К и округляем до ближайшего целого: K = 1,0 + 3,2×lg130 » 8. Обычно K = 6÷12.

Ширину интервалов Dу выбираем одинаковой

 

        Dу = (у_max -у_min) / K = (54 - 8) / 8 = 5.75.

 

Принимаем Dу = 6. Находим среднее значение параметра у из выборки  

 

.

 

 Строим числовую ось у, на которой отмечаем среднее зна­чение у. От среднего значения у откладываем по обе стороны 0,5Dу, а затем — по целому интервалу Dу, пока крайние интервалы не перекроют у _{m ах} = 54 и у _min = 8.

По числовой оси определяем число N_j элементов выборки, попавших в интервал (y_{j -1} , y_j).

 Рассчитываем относительную частоту n _j попадания в заданный j-й ин­тервал и значение у _j * для каждого интервала:

у _j * = (у _{j -1} + у _j ) / 2.

 

Все результаты записываем в таблицу. По данным таблицы строим эм­пирический график распределения у. Правильность расчетов следует проверять по условию:

, .              

 

Так как в ряде случаев при исследовании конструкций и технологических процессов РЭА приходится прибегать к регрессионному анализу, одной из пред­посылок которого является распределение случайной величины по нормальному закону распределения, то, используя данные таблицы, проведем проверку гипо­тезы о гауссовском распределении случайной величины у. Для проверки гипотезы будем использовать c ²-критерий Пирсона, значениекоторого вычисляется по формуле:

 

где  - вероятность попадания выборочного значения y_j  в интервал разбиения [у^max_j, y^min_j].

При этом следует иметь в виду, что при использовании c ²-критерия необ­ходимо учитывать, что интервалы с числом элементов, меньшим 10, необходимо объединить с соседними (кроме внутренних). Общее число элементов должно быть N ³ 50, число элементов, попавших в любой j -й интервал, N_j ³ 5 (j = 1, К), общее число интервалов К*, оставшихся после объединения, должно удовле­творять условию К* ³ 4.

После расчета ве­роятности попадания значений случайной величины у в каждый j-й интервал и вычисления вспомогательных данных Np_j, (N_j - Np_j), (N_j - Np_j)² получаем расчетное значение c ²-критерия 0,11875. По таблице находим границу c ²-критической области для заданного уровня значимости критерия q = 5 %, т.е. вероятности, для которой событие можно считать практически невозможны, и числа степеней свободы f = K * — l — 1 = 6 — 2 — 1 = 3, где число оцениваемых параметров для данного закона распределения (дисперсия и математическое ожидание) l = 2. Таккак   c²_pacч = 0,11875 < c²_гр, то выборочный материал не противоречит гипотезе о гауссовском распределении случайной величины у.

 

Вопросы к домашнему заданию

1. Что такое случайная величина?

2. Что называют конечной выборкой и объемом выборки?

3. Дайте определение коэффициента корреляции.

4. Назовите основные этапы алгоритма проверки гипотезы по критерию Пирсона .

5. Почему разбиение начинают от среднего значения?

6. Что такое гистограмма и полигон частот?

7. Приведите формулы расчета вероятности попадания в интервал.                                  

8. От чего зависит достоверность решения о соответствии данных нормальному закону?

9. Каким условиям должны удовлетворять отрезки разбиения?

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 117; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!