Магнитное поле движущейся заряженной частицы
N – общее число носителей тока внутри малого участка проводника. С учётом закона Био-Савара-Лапласа получим для одной частицы:
Пример. Найти индукцию магнитного поля кругового витка с током на его оси.
Определим магнитную индукцию на оси проводника с током на расстоянии х от плоскости кругового тока. Векторы dB ̄ перпендикулярны плоскостям, проходящим через соответствующие dl ̄ и r ̄. Следовательно, они образуют симметричный конический веер. Из соображения симметрии видно, что результирующий вектор B ̄ направлен вдоль оси кругового тока. Каждый из векторов 
вносит вклад равный 
, а 
взаимно уничтожаются. Но 
, 
, а т.к. угол между dl ̄ и r ̄ α – прямой 
тогда получим ( 
, 
):
При x = 0 получим магнитную индукцию в центре кругового потока:
17. Сила Ампера. Пример расчёта силы взаимодействия между параллельными проводниками с током. Сила Лоренца.
Закон Ампера:
Сила действующая на элемент тока в магнитном поле равна 
, а её модуль 
.
Здесь dF ̄ - сила, действующая на элемент тока Idl ̄ со стороны магнитного поля B̄ направленного под углом α к участку проводника dl ̄. Направление этой силы определяется, как для любого векторного произведения по правилу “левой руки”.
Полная сила, действующая на проводник конечной длины, вычисляется суммированием (векторным!) “элементарных воздействий”.
Пример. Расчёт силы взаимодействия двух параллельных прямолинейных проводников с током.
|
|
|
Здесь μ0 – магнитная постоянная, а R – расстояние между проводниками. Это – сила притяжения, если направления токов совпадают и сила отталкивания, если не совпадают.
Сила Лоренца:
Магнитное поле действует не только на токи, но и на движущиеся заряженные частицы с силой 
, её модуль 
Здесь v̄ – скорость движения заряженной частицы, α – угол между векторами v̄ и B̄. Направление силы Лоренца определяется в соответствии со способом определения направления векторного произведения правилом левой руки.
Магнитное поле движущейся заряженной частицы
N – общее число носителей тока внутри малого участка проводника. С учётом закона Био-Савара-Лапласа получим для одной частицы:
18. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Её применение для расчёта вектора магнитной индукции поля цилиндрического проводника с током.
(Опр.) Циркуляцией вектора B ̄ по замкнутому контуру C называется криволинейный интеграл вида 
.
Формулировка теоремы:
Циркуляция вектора индукции B ̄ магнитостатического поля по любому замкнутому контуру C в вакууме пропорциональна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром
|
|
|
В том случае, когда через поверхность ∑, ограниченную контуром C, протекают распределённые токи, в правой части вместо суммы следует записать поверхностный интеграл вида 
. Этот интеграл имеет смысл потока вектора плотности тока j ̄ через поверхность ∑, ограниченную контуром C – предполагается, что именно через неё и переносится заряд!
Доказательство.
а) Рассмотрим сначала простейший случай – постоянный ток протекает по бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводнику. Контур С – окружность, располагающаяся в плоскости, перпендикулярной проводнику, проходящему через её центр. Контур С совпадает с одной из линий индукции магнитного поля проводника. Отсюда ясно, что под знак интеграла при расчёте циркуляции попадают просто произведения B ( r ) dl (на любом малом участке контура направления векторов B̄ и dl̄ совпадают!). В силу осевой симметрии модуль вектора B̄ зависит только от расстояния до проводника и постоянен на окружности радиуса r, а потому его можно вынести за знак интеграла. Получаем:
Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника на расстоянии r от него равна (результат применения закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции) 
|
|
|
б) Пусть контур С по-прежнему лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику, охватывает проводник, но на этот раз имеет произвольную форму.
в) Пусть теперь проводник проходит вне контура С. Контур разобьём на две составляющие и при вычислении интеграла двигаться сначала от точки 1 к точке 2 по более удалённой его части, а затем от точки 2 к точке 1 возвращаться по более близкой. При этом интеграл разбивается на две части. Для участка 1–2 угол между векторами B̄ и dl̄ острый и знак их скалярного произведения положителен. Напротив, для участка 2–1 угол тупой и знак произведения противоположен. В итоге получаем:
Это означает, что токи, лежащие вне поверхности, ограниченной контуром вклада в циркуляцию не дают.
г) Контур не является плоским. Все малые элементы произвольного неплоского контура можно представить, как сумму компонент, лежащих в плоскости перпендикулярной проводнику ( 
), и составляющих, параллельных ему ( 
).
д) Произвольное количество проводников с током. Справедливо с учётом принципа суперпозиции магнитных полей.
Пример. По длинному прямолинейному проводнику радиуса R течёт ток. Плотность тока распределена равномерно по сечению проводника и равна j. Найти зависимость индукции магнитного поля тока B ̄( r ) как внутри, так и вне этого проводника.
|
|
|
В любой плоскости, перпендикулярной проводнику, линии поля – окружности с центрами на оси проводника. Контур С – окружность перпендикулярная проводнику, проходящему через её центр. По теореме о циркуляции (дважды, для C1: r > R, правая часть 
, а для C2: 0 < r < R и 
):
вне проводника внутри проводника
Направление магнитного поля в любой точке пространства определяется “правилом правого винта”.
19. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Применение теоремы для расчёта вектора магнитной индукции поля соленоида.
(Опр.) Циркуляцией вектора B ̄ по замкнутому контуру C называется криволинейный интеграл вида .
Формулировка теоремы:
Циркуляция вектора индукции B ̄ магнитостатического поля по любому замкнутому контуру C в вакууме пропорциональна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром
В том случае, когда через поверхность ∑, ограниченную контуром C, протекают распределённые токи, в правой части вместо суммы следует записать поверхностный интеграл вида . Этот интеграл имеет смысл потока вектора плотности тока j ̄ через поверхность ∑, ограниченную контуром C – предполагается, что именно через неё и переносится заряд!
Доказательство.
а) Рассмотрим сначала простейший случай – постоянный ток протекает по бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводнику. Контур С – окружность, располагающаяся в плоскости, перпендикулярной проводнику, проходящему через её центр. Контур С совпадает с одной из линий индукции магнитного поля проводника. Отсюда ясно, что под знак интеграла при расчёте циркуляции попадают просто произведения B ( r ) dl (на любом малом участке контура направления векторов B̄ и dl̄ совпадают!). В силу осевой симметрии модуль вектора B̄ зависит только от расстояния до проводника и постоянен на окружности радиуса r, а потому его можно вынести за знак интеграла. Получаем:
Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника на расстоянии r от него равна (результат применения закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции)
б) Пусть контур С по-прежнему лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику, охватывает проводник, но на этот раз имеет произвольную форму.
в) Пусть теперь проводник проходит вне контура С. Контур разобьём на две составляющие и при вычислении интеграла двигаться сначала от точки 1 к точке 2 по более удалённой его части, а затем от точки 2 к точке 1 возвращаться по более близкой. При этом интеграл разбивается на две части. Для участка 1–2 угол между векторами B̄ и dl̄ острый и знак их скалярного произведения положителен. Напротив, для участка 2–1 угол тупой и знак произведения противоположен. В итоге получаем:
Это означает, что токи, лежащие вне поверхности, ограниченной контуром вклада в циркуляцию не дают.
г) Контур не является плоским. Все малые элементы произвольного неплоского контура можно представить, как сумму компонент, лежащих в плоскости перпендикулярной проводнику ( ), и составляющих, параллельных ему ( ).
д) Произвольное количество проводников с током. Справедливо с учётом принципа суперпозиции магнитных полей.
Пример. Найдём индукцию магнитного поля B̄ соленоида.
Соленоидом называют длинную катушку – её длина много больше диаметра. Катушка состоит из большого количества одинаковых витков с током, каждый из которых дает свой вклад в результирующее магнитное поле. Итак, направление векторов индукции от симметричных витков может быть только параллельным оси катушки как вне, так и внутри неё.
Выберем контур 1–2–3–4 в виде прямоугольника. Циркуляция вектора B̄ равна:
Второе и четвёртое слагаемое равны нулю, так как на любом участке сторон контура 2-3 и 4-1 векторы B̄ и dl̄ взаимно перпендикулярны. Участок 3-4 может быть выбран на любом расстоянии от оси соленоида, в частности на очень большом, где магнитное поле пренебрежимо мало (вспомним закон убывания индукции поля с расстоянием по закону БСЛ). Поэтому выражение для циркуляции практически полностью определяется индукцией поля внутри соленоида. Применяем теорему и получаем:
Модуль магнитной индукции поля внутри соленоида равен:
Практически все поле сосредоточено внутри катушки и однородно. Таким образом, длинный соленоид в учении о магнетизме играет роль аналогичную конденсатору в электростатике.
20. Открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции («Опыты Фарадея»). Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла.
В качестве источника магнитного поля Фарадей использовал постоянный магнит, а также катушку, включённую в электрический контур («1») с источником тока (электромагнит). Для регистрации индукционных токов применялась другая катушка, входящая в другой, «регистрирующий контур» («2») с чувствительным к протеканию заряда электроприбором – гальванометром G.
1) Если регистрирующая катушка («2») находилась в поле неподвижного электромагнита (катушка «1») даже с очень большим постоянным током (то же и в случае неподвижного постоянного магнита), то гальванометр G не фиксировал протекание тока. Вывод – постоянное магнитное поле любой величины не вызывает появление электрического тока в неподвижном проводнике.
2) При пространственных перемещениях регистрирующей катушки или магнитов гальванометр показывал появление тока – «индукционный» ток Iинд в контуре «2». Какой именно контур «1» или «2» (или магнит) находится в движении, значения не имело – роль играет лишь их относительное движение.
3) То же происходило и при замыкании или размыкании ключа «К», а также и при изменении силы тока в первом контуре.
4) Фарадеем был обнаружен и ряд более тонких эффектов. Например, появление индукционного тока Iинд во втором (регистрирующем) контуре в процессе деформации второй катушки или при внесении в неё железных сердечников.
Фарадей проанализировал все проявления электромагнитной индукции и пришёл к выводу – изменения в структуре магнитного поля приводят заряженные частицы в упорядоченное движение. А именно, электрический ток индуцируется при любом изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым проводником (контуром) – это явление электромагнитной индукции.
Величина индукционного тока I инд пропорциональна скорости изменения магнитного потока Φ B:
«Правило» Ленца
Индукционный ток всегда направлен так, что его магнитное поле препятствует изменению магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.
Или: Индукционный ток направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызывающей.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 267; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!