Меры рассеивания случайных величин

1. Размах распределения

2. Дисперсия (рассеивание),

3. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)

4. Коэффициент вариации

Литература: 1.[ 1 ], стр 53-61

2.[ 2 ], стр 73-76

К мерам рассеивания относятся: размах, дисперсия (рассеивание), среднее квадратическое отклонение (стандарт) и коэффициент вариации.

Размах R распределения (диапазон рассеивания) в эмпирической совокупности — разность между максимальным и минимальным из значений случайной величины Х _i, полученных в результате испытаний. Размах определяют по формуле:

(3.14)

Им пользуются в эмпирических распределениях как мерой рассеивания при малом числе испытаний N<25.

Рассеивание (степень изменчивости) случайной величины наиболее часто измеряют дисперсией (рассеиванием) и средним квадратическим отклонением, взятых с положительным знаком.

(3.15)

При

(3.16)

Эмпирическая дисперсия S² — величина рассеивания зафиксированных значений вокруг их среднего значения. При малом числе наблюдений, т. е. при N<25, эмпирическое среднее квадратическое отклонение и среднее квадратическое отклонение (стандарт) будут соответственно равны корням квадратным из дисперсии S² и из DX

Дисперсия для дискретной случайной величины теоретического распределения будет выглядеть так:

Для непрерывной, заданной плотностью вероятности f( x)

При

При малом числе наблюдений, т. е. при при N<25 размерность S и DX совпадает с размерностью самой случайной величины х.

При

Если при вычислении исходят не из отклонений от средней арифметической, а из непосредственно измеренных величин, то чтобы при вычислении не возводить в квадрат многозначные числа, можно пользоваться отклонениями от условно избранной любой постоянной величины А с последующим расчетом по формуле:

и определяет широту кривой распределения. На рисунке 28 изображено несколько кривых распределения с различными σ и одним и тем же х

Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Дисперсия суммы (разности) взаимно независимых случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Если взаимно независимые случайные величины одинаково распределены, средние квадратические отклонения σ каждой из них равны между собой и на основании формулы

Среднее квадратическое отклонение величины среднего арифметического значения X (средняя ошибка) составляет 1/N от σ_x и вычисляется так:

Таким образом, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического σ_xодинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в 1/ N раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин.

Где - максимальное по абсолютной величине отклонение, равное

Совокупность не содержит грубых погрешностей согласно критерию Райта в том случае, если при обработке результатов испытаний (опытов) может возникнуть необходимость сравнить различные распределения, а также рассеивание разнородных величин. Для сравнения рассеивания разнородных величин дисперсия и стандарт не могут быть использованы. В качестве отвлеченной меры рассеивания, не зависящей от единиц измерения сравниваемых величин, принимается коэффициент вариации или изменчивости v*.

Для эмпирического распределения он выражается через отношение эмпирического среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому. Он показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величины.

Коэффициент вариации для теоретического распределения представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации может выражаться в процентах

Тот из рядов распределения имеет большее рассеивание, у которого больше коэффициент вариации

Закон распределения случайной величины — это

всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими этим значениям вероятностями или частотами (частостями).

Закон распределения случайных величин позволяет определить вероятность (частоту, частость) появления случайной величины в любом интервале ее возможных значений.

Дискретные (прерывные) случайные величины X могут принимать только ряд отдельных значений х\, х₂,..., x_n *п, каждому из которых соответствует некоторое значение вероятности Р₁\, Р₂ Р₃ , • • •> Рп-Рассматривая появление любого из перечисленных значений прерывной случайной величины как события, заметим, что эти события образуют полную группу несовместных случайных событий, а следовательно

Распределение прерывной случайной величины может быть представлено в виде таблицы, называемой рядом распределения (табл. 2) или графически многоугольником распределения (рис. 21).

Таблица 2. Ряд распределения случайной величины
Значения случайной величины X	x₁	x₂	…	x_n
Вероятность P( X= x_i)= P	P₁	P₂	…	P_n

При графическом представлении (см. рис. 21) по оси абсцисс откладывают значения случайной величинылг_г-, а по оси ординат — вероятности Р_г, соответствующие этим значениям.

Ряд распределения и многоугольник распределения— один из возможных форм представления закона распределения случайной величины.

Ряд распределения — удобная форма представления закона распределения дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений.

В случае непрерывной случайной величины, которая имеет бесчисленное мпоже
ство значений, такая форма закона распределения непригодна. В данном случае используют не вероятность события Pi( X = Xi), а вероятность события P( Xi < х i). Это означает, что случайная величина X примет значение, меньшее какого-либо наперед выбранного значения х( — <х><

Функция (интегральный закон) распределения случайной величины — наиболее универсальная характеристика как дискретных (прерывных), так и непрерывных случайных величин.

Если X – случайная величина, а x – некоторое действительное число, то вероятность того, что X< x:

где F( x) – функция распределения.

Функцию распределения можно представить в виде графика, если по оси абсцисс откладывать значение x, а по оси ординат – значение F( x).

Если X – дискретная величина, то на основании теории сложения вероятностей несовместных событий ее функция распределения будет иметь вид: .

Для дискретной случайной величины график функции распределения будет иметь вид ступенчатой кривой (рис. 22). С увеличением числа значений x число ступеней (скачков) будет увеличиваться, а их величина – уменьшаться.

Функцию распределения непрерывной случайной величины изображают плавной кривой (рис. 23). При любом значении x 0< F( x)<1.

В эмпирических распределениях возможные значения случайных величин оцениваются частотами или частностями, полученными в результате испытаний или опытов.

На практике при изучении непрерывных случайных величин их полученные значения делят на интервалы или разряды. После этого подсчитывают частоты не по действительным значениям случайной величины, а по разрядам, т. е. мы будем иметь дело не с частотами зафиксированных значений непрерывной случайной величины, а с частотами их значений, лежащих в границах установленного разряда или интервала.

В таблице эмпирического распределения (табл. 3) случайной величины указывают интервалы (разряды) значений x_i,

частоту m_i и частость .

Таблица 3. Эмпирический ряд распределения случайной величины
Значения случайной величины X
Частота (m_i)	m₁	m₂	…	m_n
Частость (m_i / N = W_i)	m₁ / N = W₁	m₂ / N = W₂	…	m_n / N = W_n

Эмпирическое распределение может быть изображено в виде ступенчатого графика, называемого гистограммой распределения, или в виде ломаной линии (кривой, называемой полигоном распределения (рис. 24). Реже пользуются кривой накопленных частостей (накопленной эмпирической кривой распределения) или кумулятой.

На гистограммах или полигонах распределения по оси абсцисс откладывают интервалы полученных по наблюдениям значений случайных величин, а по оси ординат- — их частость или частоту

(3.6)

Высота прямоугольника гистограммы равна частоте 1Пг' (частости W) распределения, а основание —интервалам или разрядам, на которые разделены зафиксированные" значения xl

При построении гистограмм и эмпирических кривых распределения промежуток, внутри которого заключаются значения Xj, делят на равные интервалы (разряды).

Таким образом, функция распределения вероятностей может характеризовать как дискретные (прерывные), так и непрерывные случайные величины и является неубывающей функцией, изменяющейся от 0 до 1.

Функция распределения непрерывной случайной величины имеет тот недостаток, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки на числовой оси.

О характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек можно судить на основании особой функции, которая называется плотностью распределения вероятности или плотностью распределения.

Плотность распределения непрерывной случайной вел и ч и и ы —это производная от функции распределения непрерывной случайной величины:

Для дискретной величины функция плотности распределения не существует.

Графически плотность распределения представляет собой кривую распределения непрерывных случайных величин (рис. 25).

Площадь элементарного прямоугольника, равную произведению f( x) dx, называют элементов вероятности.

Для определения вероятности Р(Х<х) необходимо вы числить площадь, заключенную между кривой и осью в интервале от —оо до х.

Для этого необходимо сложить все элементы вероятностей, заключенные в данной площади в интервале от -∞ до х, т. е.

Плотность распределения характеризуется следующими основными свойствами.

1. Она неотрицательная функция от х вследствие того, что F( x) —неубывающая функция.

2. Площадь, ограниченная кривой f( x) и осью абсцисс (интеграл от плотности распределения в бесконечных пределах), равна единице, т. е.

При изучении случайных величин часто достаточно знать числовые характеристики распределения случайной величины.

Дата добавления: 2019-09-08; просмотров: 1453; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!