Нормальний закон розподілу випадкових величин

 

Нормальний закон розподілу випадкових величин має важливе значення в теорії ймовірностей і найчастіше зустрічається на практиці. Головна його властивість полягає в тому, що серед інших законів він є граничним законом, до якого наближуються інші закони розподілу в досить частих подібних типових умовах. Доведено, що більшість випадкових величин, якому б закону розподілу не підкорялися, в сумі великого числа додатних нівелюються, а сума їх підкоряється закону досить близькому до нормального закону. Це твердження відноситься і до результатів геодезичних вимірів.

Неперервна випадкова величина має нормальний розподіл, якщо щільність імовірності має рівняння

 

 

де е = 2,718...,  = 3,141..., М_х - математичне сподівання,  — середнє квадратичне відхилення (стандарт). М_х та  називають параметрами нормального закону розподілу. Якщо відомі значення М_х і , то щільність імовірності повністю визначена.

Відмітимо деякі властивості кривої нормального розподілу:

1. Крива розподілу симетрична відносно ординати, яка проходить через точку М_х.

2. Крива має один максимум при х = М_х і дорівнює

3. При  гілки кривої асимптотично наближаються до осі О_х

4. Якщо , то зміна значення математичного сподівання М_х призводить до зміщення кривої розподілу вздовж осі Ох.

5. При  і зміні величини середнього квадратичного відхилення крива розподілу стає більш гостроверхою або плосковерхою.

При вирішенні практичних задач, нормальний розподіл відіграє важливу роль. Якщо випадкова величина X підкоряється нормальному закону розподілу, то ймовірність її попадання на ділянку ( ) дорівнює

 

 

Згідно з четвертою та п'ятою властивостями для різних випадкових величин X буде своя крива розподілу. Щоб уникнути цього визначають нормований нормальний закон розподілу. Вводять нормовану випадкову величину t

 

,

 

для якої математичне сподівання , а квадратичне відхилення .

Інтеграл не можна виразити через елементарні функції. Тому його обчислюють через спеціальну функцію, що є визначеним інтегралом від величини  (інтеграл імовірностей.

Іноді приводять таблицю функції 2 (t) для обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини X в симетричні інтервали від -t до t.

Функцію (t) називають нормованою функцією Лапласа або інтегралом імовірностей.

РОЗДІЛ 3. СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Поняття та закон розподілу системи випадкових величин

 

До цього часу ми розглядали одномірну випадкову величину X. Однак в сучасній теорії математичної обробки результатів багаторазових повторних геодезичних вимірювань використовують багатомірні випадкові величини. Багатомірна випадкова величина може складатися із декількох компонентів і бути двомірною, тримірною і так далі. Так, наприклад, координати точки на площині визначаються двома випадковими величинами: абсцисою X та ординатою У; положення точки в просторі визначається вже трьома координатами - X, Y та висотою Н.

Сумісна дія двох чи більше випадкових величин приводить до системи випадкових величин. Умовимось систему декількох випадкових величин X, У, ..., N позначати (X, У, ..., N). При вивченні системи випадкових величин визначають характеристики як кожної випадкової величини, так і зв'язки та залежність між ними. А це вже більш складні задачі.

Домовимось, що систему двох випадкових величин (Х, У) ми будемо розглядати як випадкову точку на площині х0у з координатами X і У, або як випадковий вектор на площині з випадковими складовими X i У. Систему трьох випадкових величин (X, У, Z) - як випадкову точку в тримірному просторі або, як випадковий вектор в просторі. За аналогією, систему n -випадкових величин (X, У, ..., N) розглядають як випадкову точку в n-мірному просторі або, як n-мірний випадковий вектор.

Законом розподілу системи випадкових величин називають співвідношення, що встановлює зв'язок між областями можливих значень системи випадкових величин і ймовірностями появи їх в цих областях.

Закон розподілу системи випадкових величин можна задавати в різних формах. Покажемо табличний спосіб розподілу системи дискретних випадкових величин.

Якщо X та У - дискретні випадкові величини, значення яких дорівнюють (Х_bУ_j), де і = , а j = ( ), то їх розподіл системи можна характеризувати ймовірностями р_ij = Р(Х = х₁; Y = y₁. Це означає, що коли випадкова величина X приймає значення х₁ одночасно і величина Y прийме значення у_j

Всі можливі події (X = x_і, Y = y_j) і = , а j = ( ) складають повну групу несумісних подій і тому

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!