Перевірка закону розподілу статистичних рядів

 

Важливе значення при математичній обробці геодезичних вимірів має знання закону розподілу результатів або похибок вимірів. Найкращі оцінки отримують, коли ряд вимірів підпорядковується нормальному закону розподілу. Однак, практично комплекс умов постійно дещо змінюється. В наслідок цього виникає відхилення закону розподілу результатів вимірів від теоретичного значення функцій розподілу.

Практично на основі тих чи інших відомостей висувають припущення або ("нульову") гіпотезу про вид закону розподілу статистичного ряду, створеного за результатами вимірів. Шляхом застосування різних критеріїв перевірки визначають, чи є допустимим розходження між дослідним і теоретичним (передбачуваним) законом розподілу.

Враховуючи, що результати геодезичних вимірів, як правило, підпорядковуються нормальному закону розподілу при дотриманні "комплексу умов" або вимог нормативно-технічної документації, розглянемо ряд критеріїв повірки відповідності нормальному закону розподілу результатів вимірів:

1. Перевірка по асиметрії і ексцесу

Гіпотезу про нормальний закон розподілу статистичного ряду називають нульовою або основною. Маємо статистичний ряд x₁, x₂, …, x_n і висунута гіпотеза, що він підпорядковується нормальному закону розподілу (НЗР). За формулами можна визначити числові характеристики НЗР: математичне сподівання або середнє арифметичне, дисперсію, середню квадратичну похибку, асиметрію S_k та ексцес Е_k.

Скористаємося тим, що асиметрія S_k та ексцес Е_k є числовими характеристиками, що характеризують ступінь відхилення досліджуваного розподілу від теоретичного НЗР. Вони, як і інші параметри НЗР є випадковими величинами, а тому можуть відхилятися від нуля.

Мірою точності асиметрії та ексцесу є дисперсії

 

 

При великій кількості вимірів відповідно маємо

 

 

При великій кількості вимірів маємо:

 

 

 

2. Критерій Колмогорова

Це найбільш простий критерій перевірки гіпотези про нормальний закон розподілу. Використовується різниця D між статистичною інтегральною функцією розподілу (z) і відповідною теоретичною функцією розподілу F(z).

При невеликій кількості вимірів  для статистичного розрахунку обчислюють: середнє арифметичне , відхилення , за формулою Бесселя середню квадратичну похибку m. Далі обчислюють нормовані похибки  і складають зростаючий ряд Z_min, Z₁, Z₂, … Z_max.        

3. Критерій x² (Пірсона)

В математичній статистиці його вважають найбільш строгим і надійним критерієм погодження нульових гіпотез. Він забезпечує мінімальну ймовірність виникнення похибок 2-го роду.

Розрахунки в критерії Пірсона аналогічні критерію Колмогорова і пов'язані з групуванням нормованих похибок. Слід пам'ятати, що при групуванні похибок в кожному інтервалі їх повинно бути не менше п'яти. Тому крайні інтервали можна штучно об'єднувати (збільшувати). Число інтервалів повинно бути не менше чотирьох.

Критерієм перевірки нульової гіпотези є статистика

 

,

 

де N= [v_i] - число всіх вимірів, p_i - теоретичне значення ймовірності вибраних інтервалів вибирається із таблиць.

В критерії Пірсона доведено, що при нормальному розподілі похибок вимірів статистика X² має X² - розподіл з числом ступенів вільності k = n – 1.

Критична область для нульової гіпотези буде

 

 

де %д - вибирається із таблиць дод. 9 за заданими д\ і  г = & — З, &- кількість інтервалів.

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!