Площадь боковой поверхности пирамиды.
Теорема 19.6: боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Билет №7.
Теорема о трех перпендикулярах.
Теорема 17.5: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Доказательство: пусть АВ - перпендикуляр к плоскости a, АС - наклонная и с - прямая в плоскости a, проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую СА1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости a. Проведем через прямые АВ и А1С плоскость b. Прямая с перпендикулярна прямой СА1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости b, а значит, и прямой АС. Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА1, перпендикулярна плоскости b, а значит, и проекции наклонной ВС. ЧТД.
Вывод формулы объема шара.
Билет №8.
Перпендикулярные плоскости.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема 17.6: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство: пусть a - плоскость, в - перпендикулярная ей прямая, b - плоскость, проходящая через прямую в, с- прямая, по которой пересекаются плоскости a и b. Докажем, что плоскости a и b перпендикулярны. Проведем в плоскости a через точку пересечения прямой в с плоскостью a прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость g. Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т.к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости a и b перпендикулярны. ЧТД.
|
|
|
Призма - многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Прямая призма - боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям.
Боковая поверхность призмы (площадь боковой поверхности) - сумма площадей боковых граней.
Теорема 19.1: боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра.
Доказательство: боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
|
|
|
задача о боковой поверхности наклонной призмы: боковая поверхность наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения и бокового ребра.
Билет №9.
Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
Теорема 17.4: две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказательство: пусть а и в - две прямые, перпендикулярные плоскости a. Допустим, что прямые а и в не параллельны. Тогда существует некая прямая в1 параллельная а. Выберем на прямой в точку С, не лежащую в плоскости a. Проведем через точку С прямую в1, параллельную а. Прямая в1 перпендикулярна плоскости a (теорема 17.3). пусть В и В1 - точки пересечения прямых в и в1 с плоскостью a. Тогда прямая ВВ1 перпендикулярна пересекающимся прямым в и в1. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. ЧТД.
Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).
Теорема 19.4: в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
|
|
|
Доказательство:
Билет № 10.
Теорема 17.3: если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство: пусть а1 и а2 - две параллельные прямые и a - плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью a произвольную прямую х2 в плоскости a. Проведем в плоскости a через точку А1 пересечения прямой а1 с a прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости a, то прямые а1 и х1 перпендикулярны. По теореме 17.1(если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны) параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости a. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости a.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 184; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!