Площадь сферы. (вывод формулы).
Аксиомы стереометрии.
Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
С1: какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости a и b имеют общую точку, то существует прямая с , принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
С3: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость a, содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.
Теорема 15.1: через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство: пусть АВ - данная прямая и С - не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость a (аксиома С3). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость a, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость a1, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости a и a1 пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В и С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
|
|
|
Параллелепипед, его элементы.
Если основание призмы - параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
Бывает прямой и наклонный.
Прямой параллелепипед: основание - прямоугольник. У него все грани - прямоугольники. Прямоуг параллеп, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоуг параллеп называются его линейными размерами (измерениями). У прямоуг параллеп три измерения.
Теорема 19.3: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Дано: параллелепипед АВСДА1В1С1Д1., О - точка пересечения диагоналей С1А и ВД1.
Доказательство: рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АС1 и ВД1. Так как четырехугольники АВСД и ДД1С1С - параллелограммы с общей стороной СД, то их стороны АВ и Д1С1 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым АД1 и ВС1. Следовательно, четырехугольник ВАД1С1 - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда АС1 и ВД1 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказываются другие диагонали. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
|
|
|
Билет №2.
Параллельные прямые.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Теорема 16.1: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.
Замечание: утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.
Доказательство: пусть а - данная прямая и А - точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую и точку плоскость a . Проведем через точку А в плоскости a прямую а1, параллельную а. Докажем, что прямая а1, параллельная а, единственна. Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и а2 можно провести плоскость a 2. Плоскость a 2 проходит через прямую а и точку А, следовательно по теореме 15.1 она совпадает с a. Теперь по аксиоме параллельных прямые а1 и а2 совпадают. Теорема доказана.
|
|
|
Площадь сферы. (вывод формулы).
Площадь поверхности сферы - предел отношения объема слоя, покрывающего поверхность, к толщине этого слоя, если толщина этого стремиться к нулю.
Билет №3.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 287; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!