Прямая, параллельная плоскости.
Пряма и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 16.3: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство: пусть a - плоскость и а - не лежащая в ней прямая и а1 - прямая в плоскости a, параллельная прямой а. Проведем плоскость b через прямые а и а1. Плоскости a и b пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, так как прямые а и а1 параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. ЧТД.
Вывод формулы объема конуса.
Конусом (а точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Прямой конус - прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.
Билет №4.
Параллельные плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 16.4: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство: пусть a и b - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости a , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в плоскости b . Допустим, что плоскости a и b не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые а1 и а2 , как параллельные прямым в1 и в2, параллельны плоскости b, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости a через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
|
|
|
Вывод формулы объема пирамиды.
Билет №5.
Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Действительно, согласно определению параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны. ЧТД.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Действительно, пусть a и b - параллельные плоскости, а и в - пересекающие их параллельные прямые, А1, А2,и В1, В2 - точки пересечения прямых с плоскостями (см рисунок). Проведем через прямые а и в плоскость. Она пересекает плоскости a и b по параллельным прямым А1В1 и А2В2. Четырехугольник А1В1В2А2 - параллелограмм, т.к. у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит А1А2=В1В2. ЧТД.
|
|
|
Касательная плоскость - плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А.
Теорема 20.5: касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Доказательство: пусть a - плоскость, касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости a, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ>ОА=R. Следовательно точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Билет №6.
Прямая, перпендикулярная плоскости.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
|
|
|
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Теорема 17.2: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство:
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 301; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!