Пример латинского квадрата размером 4 Х 4.
Задача: Имеется четыре марки шин А, В, С, D, которые нужно испытать на четырех различных колесах четырех машин разного типа.
| Положение колеса | Тип автомобиля | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | С | D | А | В |
| 2 | В | С | D | А |
| 3 | А | В | С | D |
| 4 | D | А | В | С |
Особенности планирования многофакторных экспериментов
Опишем последовательность действий, выполняемых при проведении экспериментов.
1. Определение откликов (выходных переменных) системы.
2. Определение факторов, которые предположительно влияют на отклик системы.
Большинство систем работает по принципу Парето. Этот принцип гласит, что c точки зрения характеристик системы существенными являются лишь некоторые из множества факторов. В большинстве систем 20% факторов определяют 80% свойств системы.
3. Определение уровней факторов. Минимальное количество уровней два – нижняя и верхняя границы значений факторов. При использовании этого числа уровней можно определить только линейные эффекты. Для учета квадратичных эффектов необходимо использовать три уровня, для кубических эффектов – четыре и т.д. Анализ значительно упрощается, если брать только равноотстоящие друг от друга значения уровней. В этом случае имеем так называемое ортогональное разбиение уровней.
Для множественных экспериментов c числом факторов больше одного дисперсионный анализ требует, чтобы для заключительного анализа использовался ортогональный эксперимент. Это означает, что оценки в пределах анализа должны быть некоррелированные. На практике использование одних и тех же чисел при выполнении экспериментов в пределах каждой комбинации уровней обработки гарантирует ортогональность.
|
|
|
Планирование эксперимента обычно применяется для определения важных – существенно влияющих на отклик – факторов (отсеивающий эксперимент). Так как c ростом числа факторов число комбинаций быстро растет, то необходимо выделить наиболее важные факторы, т.е. провести предварительное отсеивание. Для этого используются планы 2 k - p , считая взаимодействия более высокого порядка равными нулю.
При использовании планирования экспериментов для поиска экстремальных значений отклика применяются планы типа 2 k - p и дополнительные комбинации, позволяющие оценить отклик как функцию (полином первого или второго порядка) от независимых переменных. В этом случае все k факторов должны быть количественными.
Планы можно применять последовательно, т.е. сначала получить наблюдения для одних комбинаций уровней факторов, затем для других и после анализа этих наблюдений решить, для какой комбинации (старой или новой) провести дополнительные наблюдения. Эти новые наблюдения опять анализируются (обычно вместе c предыдущими) для принятия решения о дальнейших наблюдениях и так далее. В планах типа 2 k - p можно сначала выполнить малую часть эксперимента, проанализировать наблюдения, А затем, если этот анализ показывает, что данная часть эксперимента слишком мала для оценки всех возможных эффектов, расширить эксперимент таким образом, чтобы он позволил оценить все эти эффекты.
|
|
|
Если целью анализа поверхности отклика является поиск оптимальной комбинации уровней k количественных факторов, то в этом случае выполняют следующие этапы:
1. Планирование эксперимента, т.е. выбор комбинации уровней факторов. В этом случае используются полные типа 2 k , дробные типа 2 k - p планы экспериментов и некоторые специальные планы.
2. Проведение экспериментов и построение по их результатам уравнения регрессии поверхности отклика.
3. Подъем по поверхности отклика к вершине. Для нахождения направления увеличения отклика обычно используется метод скорейшего подъема (крутого восхождения). В направлении, в котором ожидается увеличение отклика, этапы 1, 2 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута область максимума.
|
|
|
4. Проведение канонического анализа в области максимума функции поверхности отклика. При этом определяется: имеется ли один максимум, несколько максимумов, седловая точка или гребень.
Дисперсионный анализ ANOVA в планировании экспериментов
Для определения, является фактор значимым или нет, используется дисперсионный анализ ANOVA (analysis of variance), который применим только к количественным факторам. C помощью него определяются количественные отклонения наблюдений от среднего значения. Если какой-либо фактор не оказывает влияние на отклик, то он является незначимым. C другой стороны, если фактор влияет на отклик, то его (фактора) количественное значение сравнивают c оценкой изменчивости наблюдения, то есть со стандартной ошибкой.
Это делается для исключения эффектов, которые являются не более чем случайной флуктуацией.
Неявно в ANOVA используется аддитивная математическая модель, которая определяет компоненты изменения в наблюдениях. Ее называют статистической моделью. Самая простая статистическая модель:
т.е. каждое i-e наблюдение представляет собой общее среднее по всем опытам μ, и случайную ошибку eig . B этой модели общее среднее не изменяется от опыта к опыту, в отличие от ошибки.
|
|
|
Статистическая модель для анализа данных экспериментов c одним фактором А имеет следующий вид:
где αAi – главный эффект фактора А на уровне i . Все наблюдения на данном уровне обработки анализируются, используя то же самое значение для α A. Так как в этом эксперименте имеется только один факгор, число комбинаций обработки определяется числом уровней I этого фактора.
Для двух факторов общая модель факторного плана такова:
где α B j – главный эффект фактора В на уровне j; 
– взаимодействие фактора А на уровне i и фактора В на уровне j. Сумма эффектов двух факторов не равна сумме их отдельных эффектов из-за взаимодействия между ними. Главный эффект фактора определяет долю участия фактора в значении функции отклика во время перехода его c нижнего уровня к верхнему.
Дисперсионный анализ, основанный на статистической модели (9.2), заканчивается построением таблицы ANOVA, в которой анализируется влияние факторов А, В, взаимодействие между факторами AB и случайные помехи наблюдения.
C помощью ANOVA проверяется гипотеза об отсутствии влияния фактора. Если справедлива гипотеза об отсутствии влияния фактора, то считается, что все наблюдения получены из одной генеральной совокупности. Для проверки гипотезы используется F -распределение Фишера. Критерий Фишера определяет отношение двух выборочных дисперсий. Если фактор существенно влияет на отклик, то значения F-распределения принимает большие значения и F-cтатистика становится значимой. Таким образом, большие значения F приводят к отбрасыванию гипотезы об отсутствии влияния фактора, т.е. фактор является значимым.
Библиотечная процедура ANOVA
Библиотечная процедура ANOVA системы GPSS World анализирует эксперименты от 1 до 6 факторов, включая взаимодействия 2-го и 3-го порядка между факторами.
На рис. 9.3 [19] представлена таблица ANOVA, полученная в GPSS World. Сначала рассмотрим среднюю часть таблицы. Полная сумма квадратов (Total) отделена от компонентов, связанных c эффектами факторов и их взаимодействиями (А, В, AB). В строке Error (ошибка) приведена остаточная сумма квадратов. Средняя сумма квадратов (Mean Square) остаточного члена используется для оценки стандартной ошибки эксперимента (в данном случае это величина 2,5).
Каждая сумма квадратов делится на число степеней свободы для уровней. Из статистических соображений степени свободы – это делитель, который должен использоваться для получения несмещенной оценки стандартной ошибки. Для наших целей, достаточно представлять степени свободы как соответствующий делитель, связанный c суммой квадратов в таблице ANOVA. Система GPSS World всегда вычисляет степени свободы.
Каждый фактор и взаимодействие в статистической модели представлены отдельной строкой в верхней части таблицы ANOVA. В каждой строке указана сумма квадратов и число степеней свободы, связанные c оценкой факторов и их взаимодействий. Это – основы, из которых получены другие числа. Частное от деления определяет средний квадрат ошибки, и в предпоследнем столбце таблицы выдается F-статистика для этого эффекта.
Сделаем некоторые заключения. Необходимо решить, достаточно ли большое значение F-критерия получено для объявления эффекта значимым. Пороговое значение, которое используется для сравнения, называется «критическим значением F» и помещено справа от F-статистики в той же самой строке. Если полученное значение F превышает критическое значение, то делаем заключение, что имеем дело со значимым эффектом фактора. Если нет, то считаем, что эффект фактора незначимый и игнорируем любое связанное c ним изменение в наблюдениях, считая, что оно вызвано случайными помехами. Представленная на рис. 9.3 таблица ANOVA показывает, что эффект фактора А значимый, А эффект фактора В и взаимодействие AB незначимы.
Иногда при выполнении эксперимента невозможно обнаружить эффект даже в том случае, если он фактически существует. Одна из задач эксперимента заключается в том, чтобы сделать это маловероятным. Из таблицы ANOVA видно, что для получения лучших результатов необходимо иметь или большую F-статистику или меньшее значение F-критерия. Желательно удалить часть суммы квадратов ошибки из-за какого-либо важного эффекта, не включенного в анализ. Если это можно сделать, то F-статистика будет больше. Для этого определяют дополнительные факторы, которые должны быть включены в эксперимент.
Puc . 9.3
Для увеличения степени свободы остаточного члена можно использовать два подхода. Первый просто увеличивает число повторений в эксперименте. Этот подход обычно более дорогой, но может быть весьма эффективным. Второй касается плана эксперимента и статистической модели дисперсионного анализа. Средний квадрат ошибки – фактически остаточный член, оставшийся после удаления других квадратов. Если можно найти приемлемый способ, который позволит большему количеству данных оставаться после удаления эффектов, то получим оценку стандартной ошибки c большим числом степеней свободы. Окончательное значение F-критерия будет уменьшаться при увеличении мощности анализа. При этом фактически игнорируются некоторые извзаимодействий.
В многофакторных экспериментах для упрощения статистической модели и уменьшения количества экспериментов игнорируют взаимодействия самого высокого порядка. Например, статистическая модель c двумя факторами без учета их взаимодействия имеет следующий вид:
Если действительно эффектами этих взаимодействий можно пренебречь, то это позволит использовать дополнительные степени свободы для получения лучших оценки F-статистики. Кроме того, большее число степеней свободы означает также и меньшее значение F-критерия. Однако необходимо понимать, что удаление членов из статистической модели предполагает, что не существует взаимодействий более высоких порядков.
В GPSS World от учета взаимодействий высоких порядков можно отказаться, используя третий параметр процедуры ANOVA. Иногда целесообразней учитывать только одну случайность. В этом случае для улучшения статистических оценок просто добавляются повторения наблюдений. Число повторений задается во втором параметре процедуры ANOVA.
Для работы процедуры ANOVA ей необходимо передать имя GPSS-матрицы c сохраненными результатами всех прогонов модели. Можно иметь несколько матриц результатов и для каждой их них выполнить эту процедуру. Любые матрицы GPSS World могут иметь максимальную размерность 6, эта величина ограничивает максимальное число анализируемых факторов.
Прежде чем начать эксперимент, необходимо инициализировать элементы матрицы в НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ (UNSPECIFIED) состояние c помощью оператора:
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 343; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!