Проблемы организации имитационных экспериментов

Планирование экспериментов

 Основная цель планирования экспери­ментов – изучение поведения моделируемой системы при наи­меньших затратах на экспериментирование. Для этого строится план экспериментов. Чаще всего используют такие эксперименты:

 – сравнение средних значений и дисперсий разных альтернатив;

 – определение важности учета или значимости влияния пере­менных и ограничений, которые накладываются на эти переменные;

 – поиск оптимальных значений переменных на некотором множестве возможных значений.

Разрабатывается план экспериментов c моделью для достиже­ния поставленной цели. При необходимости используют отсеиваю­щий или оптимизирующий эксперименты. В случае оптимизации чи­слового критерия формулируют гипотезы о выборе наилучших вари­антов структур моделируемой системы или режимов ее функциони­рования, определяют диапазон значений параметров (режимов функционирования) модели, в границах которых осуществляется по­иск оптимального решения.

Организация экспериментов

C точки зрения представления поведения моделируемой систе­мы имитационные модели относятся к классу описательных. Если в модели учитываются случайные факторы, то в процессе имитации обычно осуществляется большое число прогонов модели, как c раз­ными входными данными, так и c разными значениями последова­тельностей случайных чисел. Для детерминированной модели (без учета случайностей) достаточно одного прогона модели для каждой комбинации входных данных, однако, в жизни такие модели встречаются крайне редко.

В результате экспериментирования c моделью получают большое количество выходных данных, которые должны быть структури­рованы и интерпретированы так, чтобы их можно было использовать для принятия решений по результатам моделирования. Для правиль­ной интерпретации полученных от модели выходных данных необхо­димо организовать эксперименты c моделью.

Организация эксперимента – это разработка плана проведения экспериментов, который дает возможность за минимальное число прогонов модели и при минимальной стоимости работ сделать стати­стически значимые выводы или найти наилучшее решение. При орга­низации эксперимента обычно определяют:

 – входные данные для каждого эксперимента;

 – количество прогонов имитационной модели;

 – длительность одного прогона модели;

 – длительность переходного процесса моделирования, после которого необходимо собирать выходные данные;

 – стратегию сбора данных для каждого прогона модели;

 – оценки точности выходных данных c построением доверительных интервалов;

 – чувствительность модели к входным данным, различным ви­дам распределений, сценариям поведения моделируемой системы;

 – условия эксперимента и сценарии;

 – условия генерации потоков случайных чисел внутри системы моделирования и для вероятностных входных данных;

 – стратегию достижения цели эксперимента (например, сравне­ние альтернативных вариантов или оптимизация целевой функции).

Конечная цель проведения экспериментов – это получение доста­точной статистической информации для принятия решений по резуль­татам моделирования. Как правило, моделирование проводится c целью нахождения некоторых экстремальных значений характеристик моде­лируемой системы (оптимизирующий эксперимент) или для выявления важных факторов, влияющих на моделируемую систему (отсеивающий эксперимент). Оба эти эксперимента используют факторные планы и аппроксимируют поверхность отклика полиномами разного порядка,адля поиска экстремальных значений применяются численные методы оптимизации. Для этих экспериментов необходима некоторая функ­циональная зависимость значений выходной переменной (отклика) от входных переменных или факторов, которая, как правило, отражает критерий эффективности моделируемой системы. Таким образом, по­иск наилучшего решения выражается численной характеристикой этого критерия,адля нахождения экстремальных значений необходимо ис­следовать поверхности отклика (проводить эксперименты) в разных точках. От выбора начальной точки в факторном пространстве во мно­гом зависит эффективность экспериментов.

Другой вид экспериментов, проводимых c моделью, – это струк­турная оптимизация [21], под которой будем понимать поиск наи­лучшей структуры моделируемой системы. В этом случае экспери­менты проводятся c разными моделями,ане c одной, как в предыду­щем случае, причем модели могут отличаться структурой, парамет­рами и принятыми алгоритмами поведения. Для таких экспериментов нет единого числового критерия оптимизации, что затрудняет ис­пользование классических методов. Однако количество рассматри­ваемых вариантов, как правило, невелико, поэтому для структурной оптимизации можно использовать метод выдвижения гипотез c пере­бором вариантов. Оптимизация каждого варианта моделируемой сис­темы обычно осуществляется c помощью поиска узких мест и их уст­ранения, т.е. балансировки моделируемой системы. Узкие места оп­ределяют пропускную способность всей системы. Поиск наилучшего решения осуществляется сравнением рассмотрен­ных вариантов.

Проблемы организации имитационных экспериментов

Перечислим основные проблемы, возникающие при экспери­ментировании c имитационными моделями.

1. Задание начальных условий эксперимента. Обычно экспе­римент начинают из состояния «пусто и свободно», т.е. когда в моде­ли нет транзактов. Если рассматривать достаточно длительный пери­од моделирования, то можно наблюдать так называемый период «разогрева» модели или переходной период, после которого модель мо­жет перейти в стационарный режим работы. Учет данных переходного периода для выходных переменных модели будет вносить смеще­ние в статистические оценки. Чтобы уменьшить влияние данных переходного процесса на конечные результаты, можно поступать сле­дующим образом:

 – запускать модель c модальных (наиболее вероятных) значе­ний установившегося режима;

 – запускать модель со средних значений установившегося ре­жима.

Эти способы обычно обеспечивают уменьшение длительности переходного процесса модели. При этом они дают эффект только в том случае, если загрузка обслуживающих устройств в модели невелика. При стремлении коэффициентов загрузки устройств к единице, на выходе модели может наблюдаться стационарный процесс, в кото­ром нельзя четко выделить данные переходного режима, как показано на рис. 9.1.

 

Рис. 9.1

 

При оценивании выходной величины рекомендуется не учиты­вать данные переходного процесса, так как они могут давать сущест­венное смещение искомых оценок. Это достигается путем удаления данных переходного процесса. Луч­ший способ определения установившегося процесса – это использо­вание графиков для наблюдения за изменением переходного процесса во времени.

2. Правило останова определяет длительность имитационного прогона. От продолжительности прогона зависит точность результа­тов моделирования.

3. Состояния модели в момент прекращения прогона. Часто при моделировании возникает вопрос: «Что делать c оставшимися ком­понентами модели в момент окончания ее работы?» Учет оставшихся компонентов может привести к смещению оценки в боль­шую сторону. Например, при моделировании работы некоторого цеха использовалось правило, что наиболее короткие работы запускаются раньше. На момент окончания в модели останутся незавершенные ра­боты c длительными временами выполнения. Если их не учитывать, то оценка средней длительности работ в цеху будет занижена.

4. Определение длительности прогона модели при наличии в модели процессов c различными скоростями протекания. Оценку точности результатов моделирования обычно выполняют для самого медленного процесса в модели. В этом случае оценки для быстрых процессов будут заведомо намного лучше, чем для медленного про­цесса, т.е. доверительные интервалы для них будут меньше. При разработке имитационной модели обычно выбирают степень детализа­ции модели так, чтобы скорости протекающих в ней процессов не различались более, чем на два порядка. В случаях моделирования редких событий (медленные процессы), например, отказов оборудо­вания, необходимо укрупнять состояния для быстрых процессов. Для этого обычно используют аналитико-имитационные модели.

Факторный план

При экспериментировании c моделью различают входные и вы­ходные переменные. Входные переменные называются факторами. Выходные переменные называются откликами. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно или несколько значений, назы­ваемыми уровнями фактора. Множество уровней факторов опреде­ляет одно из возможных состояний моделируемой системы и представляет условия проведения одного из возможных экспериментов. Существует определенная связь между уровнями факторов и откли­ками системы, которая обычно заранее неизвестны. Эту связь можно определить следующим образом:

где у _l – l -й отклик, n – число анализируемых откликов, x_i – i-й фактор, т – число факторов.

Функция ψ в правой части называется функцией отклика или реакции. Ее геометрический образ – поверхность отклика. Так как функция ψ заранее не известна, то используют другую приближен­ную функцию:

Эти функции φ _l находят по данным эксперимента и представ­ляют в виде степенного полинома первого, второго и, реже, третьего порядка. После проведения экспериментов аппроксимирующие полиномы заменяют уравнениями регрессии и методом наименьших квадратов находят статистические оценки их неизвестных коэффици­ентов.

 

Существуют  два типа планов многофакторного эксперимента – классический и факторный.

Классический эксперимент представляет собой план, в котором все факторы, кроме одного, полагают постоянными, а выбранный фактор изменяется во всем интервале значений. Затем выбирается другой изменяемый фактор, а предыдущий становится постоянным. По существу классический многофакторный эксперимент представляет собой просто последовательность однофакторных ээкспериментов.

 

Факторный эксперимент представляет собой план, в котором все уровни каждого фактора встречаются в сочетании со всеми уровнями всех других факторов. Различные уровни некоторого фактора могут соответствовать качественным значениям (например, разные дисциплины обслуживания в устройстве) или количественным значе­ниям (например, число устройств обслуживания). Если фактор f , ( f = l,...,K) имеет L_f уровней, то общее число комбинаций уровней оп­ределяется произведением:

Если число уровней для каждого из факторов одинаково, то об­щее число комбинаций будет L^k .

Левая часть выражения (9.1) используется для обозначения фак­торного плана.

Применение факторного плана вместо классической схемы, со­гласно которой каждый раз изменяется только один фактор, имеет ряд преимуществ.

– Становится более полной картина влияния каждого фактора, по­скольку они изучаются в самых различных условиях (вследствие одновременного изменения других факторов).

– Большое число комбинаций факторов, используемых в экспери­менте, облегчает предсказание результатов, которые могут быть достигнуты при определенной комбинации условий.

– Если эффекты, вызываемые каждым фактором, статистически независимы, то о каждом факторе можно получить не меньше информации, чем при изменении в экспериментах только одного фактора при фиксации остальных.

– Если (как это часто бывает) различные факторы не являются не­зависимыми,а вызывают эффекты, которые в большей или меньшей степени коррелированны, то в этом случае только факторный эксперимент может дать информацию о характере этих взаимодействий. При наличии нескольких взаимосвязанных су­щественных факторов обойтись без постановки факторного эксперимента невозможно. Для ряда часто встречающихся специ­альных задач разработано большое число стандартных фактор­ных планов.

 

Факторный эксперимент может быть отсеивающий, когда из всего множества факторов определяются те факторы, которые суще­ственно влияют на отклики модели. Второй вид факторного экспери­мента – оптимизирующий - используется для определения экстремальных значений на по­верхности отклика. В этом случае серия факторных экспериментов планируется так, чтобы достичь экстремума на поверхности отклика.

 

Рассмотрим пример 2-х факторного эксперимента, c двумя фак­торами на 2-х уровнях и c двумя наблюдениями в каждом опыте, т.е. план 2². Факторы принято обозначать буквами латинского алфавита A , B , С и т.д.

Результаты экспериментов сведем в таблицу 9.1.

Таблица 9.1

 

Фактор А	Фактор В
	Уровень 1	Уровень 2
Уровень 1	y111 y112	y121 y122
Уровень 2	y 211 y 212	y 221 y 222

 

В этой таблице y_ijg обозначает g - e наблюдение ( g = 1,2) в ячейке i, j . Количество наблюдений (прогонов модели) g определяется же­лаемой точностью получения оценок откликов.

В общем случае в 2-х факторном эксперименте число уровней факторов А и В равно соответственно I и J . Обозначим математиче­ское ожидание E ( y_ijg )=η _ij , тогда в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где e_ijg – ошибка опыта. Предполагается, что все эти ошибки являют­ся независимыми нормально распределенными случайными величи­нами c математическим ожиданием 0 и дисперсией σ². При имитации ошибки опытов можно сделать независимыми, применяя различные последовательности случайных чисел при прогонах модели.

 

План эксперимента «Латинский квадрат»

 

Множество целых чисел 0, 1, …, S-1, расположенных в виде матрицы размера (S Х S) называется квадратом размера S. Квадрат называется латинским, если каждое целое число встречается ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце.

 Примеры латинских квадратов 2 Х 2:

 

0	2	1
1	0	2
2	1	0

0	1	2
1	2	0
2	0	1

 

В приложении к факторным планам экспериментов это означает, что каждый вариант испытаний (сочетание факторов) появляется один раз в каждой строке и в каждом столбце.

---

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 435; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!