Линейная множественная модель
Здесь количество входных сигналов, действующих одновременно на объект, равно m (см. рис. ниже):
Рис. Обозначение многомерного черного ящика с одним выходом
Предположим, что зависимость значений на выходе линейна относительно входов:
Y = A0 + A1 · X1 + … + Am · Xm.
Вычисление коэффициентов A0 , A1 , … Am произведем способом, аналогичным рассмотренному выше для одномерного варианта.
Так как подразумевается, что мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах черного ящика, то можно вычислить ошибку между экспериментальным (YiЭксп.) и теоретическим (YiТеор.) значением Y для каждой i-ой точки (пусть, как и прежде, число экспериментальных точек равно n):
Ei = (YiЭксп. – YiТеор.), i = 1, …, n;
Ei = Yi – A0 – A1 · X1i – … – Am · Xmi, i = 1, …, n.
Минимизируем суммарную ошибку F:
Ошибка F зависит от выбора параметров A0, A1, …, Am. Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0, A1, …, Am к нулю:
Получим систему из m + 1 уравнения с m + 1 неизвестными, которую следует решить, чтобы определить коэффициенты линейной множественной модели A0, A1, …, Am. Для нахождения искомых коэффициентов представим систему в матричном виде:
Вычисляем коэффициенты A0, A1, …, Am решением данной системы линейных уравнений.
Далее, как и для одномерной модели, для каждой точки вычисляется ошибка Ei; затем находится суммарная ошибка F и значения σ и S с целью определить, принимается ли выдвинутая гипотеза о линейности многомерного черного ящика или нет.
|
|
|
При помощи подстановок и переобозначений к линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели.
Розглянемо приклад розрахунків коефіцієнтів лінійної множинної регресії (m=2, n=10).
Значення X1i, X2i та Yi надані у таблиці.
| Y | X1 | X2 |
| 22,1 | 0 | 4 |
| 22,8 | 2 | 3 |
| 48,5 | 4 | 7 |
| 22,8 | 5 | 1 |
| 30,6 | 6 | 2 |
| 38,1 | 7 | 3 |
| 46 | 8 | 4 |
| 44,2 | 9 | 3 |
| 38 | 10 | 1 |
| 61 | 11 | 5 |
Необхідно обчислити коефіцієнти A0, A1 и A2 лінійної регресії Y = A0 + A1 X1 + A2X2 а також значення σ.
Рішення у середовищі електронної таблиці Excel.
Записуємо значення X1i, X2i та Yi у стовпчики відповідно (A1:A10), (B1:B10) та (C1:C10).
У комірки (E1:G3) записуємо матрицю системи рівнянь, у (I1:I3) – стовпчик правої частини рівнянь (вільні члени).
Рішення системи рівнянь виконуємо методом зворотної матриці. Знаходимо зворотну матрицю й далі її множимо на стовпчик вільних членів. Для цього у комірки L1:L3 записуємо формулу =МУМНОЖ(МОБР(E1:G3);I1:I3)
Розраховані значення коефіцієнтів A0, A1 и A2 містяться у стовпчику L1:L3.
Таким чином, рівняння множинної регресії має вигляд:
Y = 2.335096798 + 3.073691099 X1 + 4.853944965 X2
Для розрахунку σ у комірку L4 записуємо функцію =КОРЕНЬ(СУММ(O1:O10)/10)
|
|
|
Кореляційний аналіз
Основные понятия
Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении подобия изменения значений переменных. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков, для установления между ними статистических взаимосвязей.
Цель корреляционного анализа - обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б: если обе переменные растут то корреляция положительная, если одна переменная растёт, а вторая уменьшается, корреляция отрицательная.
Кореляція оцінюється за допомогою коефіцієнтів кореляції.
Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 193; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!