Метод систематичного покриття поля

Схема метода поясняется рис., на котором "поле знаний" об объекте исследования условно обозначено в виде некой замкнутой плоской области. В действительности, начиная изучение любого объекта, исследователь вначале имеет в своем распоряжении лишь очень небольшое количество известных положений, т.е. экспериментальных фактов или теоретических утверждений, которые можно назвать "вехами знаний". Познание объекта исследования фактически строится как продвижение от каждой из этих "вех" (обозначенных кружочками на рис.), причем часть поля знаний "покрывается" областями, управляемыми одной-единственной "вехой" (т.е. прямыми следствиями из конкретного исходного положения), какая-то часть покрыта заштрихованными на рис. пересечениями таких областей (т.е. следствиями, использующими два или более исходных положений), а какая-то часть остается "непокрытой" (т.е. относительно объекта исследования существует группа вопросов или ситуаций, для которых на текущий момент нет ясных и однозначных ответов).

 

 

Метод систематического покрытия поля (МСПП) рекомендует последовательно экстраполировать имеющиеся знания в неизученные участки поля, стараясь перекрыть его полностью, т.е., с одной стороны, найти ответы на все вопросы, имеющие отношение к объекту исследования, а с другой стороны, мысленно построить все ситуации и следствия, вытекающие из уже имеющихся знаний (с тем, чтобы затем этим следствиям и ситуациям найти соответствие в реальном мире). Действуя таким образом, можно ожидать, что:

а) ничто не будет упущено из поля зрения; и

б) существует вероятность сделать открытие.

Последнее утверждение оказывается действительным прежде всего тогда, когда какие-либо участки рассматриваемого "поля знаний" оказываются недоступными, несмотря на все усилия продвинуться в них от наших "вех"; в этом случае есть все основания ожидать, что отсутствие сведений об этих участках вызвано фундаментальными причинами, т.е. новыми "вехами", еще не известными науке (на рис.1 справа они обозначены полыми кружочками с вопросительным знаком), и тогда - ищите!

Из необъятного множества известных на сегодня методов поиска новых научно-технических решений МСПП - единственный метод, ориентирующий исследователя не на изобретение, а на открытие. Причем заметим, что открытия бывают трех типов: 1) открытие-прозрение, т.е. открытие нового принципа, нового эффекта или действительно фундаментального положения, дотоле не известного науке; 2) открытие-наблюдение или открытие-обнаружение, когда на основании имеющихся аксиом мысленно конструируется внутренне непротиворечивая ситуация, объект или явление, а затем эта никем не наблюдавшаяся ситуация или "мысленная конструкция" либо обнаруживается в природе, либо создается искусственно; 3) открытие-случайность, когда обнаруженный экспериментально объект (или явление) ни из каких предпосылок не следует и обязан своим обнародованием только наблюдательности исследователя.

МСПП выводит на первые два типа открытий, причем на стадии "систематического покрытия поля" (т.е. планомерного продвижения в область неведомого) идут в основном открытия второго типа, а на стадии "тупиковой ситуации" - открытия первого типа (новый принцип). Интересно также, что открытие первого типа, как правило, влечет за собой цепочку открытий второго типа, т.к. сразу же после появления новой "вехи знаний" естественно ожидать (и не только ожидать, но и реализовать ожидаемое) быстрого расширения "покрытой" части поля знаний.

Этот "детективный" способ работы Цвикки использовал в астрофизике в течение нескольких десятилетий для выявления, поиска и предсказания новых космических объектов и явлений. Используя всего пять основных положений астрофизики, он предсказал и обнаружил карликовые галактики, компактные галактики всех типов (от голубых до инфракрасных) и кластеры компактных галактик. По его предсказанию были открыты нейтронные звезды. Из несбывшихся к 1967 г. предсказаний Цвикки [2, 3] следует отметить компактные галактики, насыщенные нейтронными звездами, чисто световые космические "шары", а также световые "шары", напичканные нейтронными звездами. Последние ультракомпактные объекты сильно напоминают "черные дыры", существование которых сейчас не вызывает сомнения (эти объекты были выдвинуты Цвикки в качестве наиболее вероятных кандидатов на модель квазизвездных радиоисточников, а также обычных радиомолчащих компактных галактик, аномальное красное смещение которых вызвано колоссальным собственным гравитационным полем).

Вообще говоря, ситуация с МСПП несколько перекликается с удивлением г-на Журдена, на склоне лет узнавшего, что он всю жизнь говорил прозой. В действительности большинство деятелей науки пользовалось и пользуется методом систематического покрытия поля в своей обычной научной работе. Конечно, далеко не каждому удается при этом сделать открытие мирового масштаба, но "своих" микрооткрытий - сколько угодно.

В качестве примера рассмотрим ситуацию с периодическим законом химических элементов. Вообще говоря, "зоологическая стадия" развития любой науки на определенном этапе совершенно прозрачно и откровенно ставит задачу систематизации, в результате чего на горизонте начинает маячить "кружочек с вопросом" - неизвестный еще принцип систематизации. Именно такая ситуация сложилась в химии во второй половине XIX века, и поиском принципа систематизации нескольких десятков весьма разнообразных химических элементов занялись многие химики. Однако только одному из них удалось нащупать основополагающий принцип: периодичность изменения химических свойств в ряду, расположенным в порядке возрастания массы атома. Трудность состояла в том, что в момент провозглашения этого правила в нем уже существовал ряд исключений. Однако в том-то и состояла гениальность Д.И.Менделеева, что за этими исключениями он сумел увидеть ситуацию более глубоко, и это позволило ему не только уверенно предсказать существование трех еще не открытых химических элементов (галлия, германия и скандия), но и дать для этих элементов перечень их основных свойств и даже назвать группы в которых можно искать предсказанные элементы.

Последовавшее вскоре реальное обнаружение названных элементов сняло все сомнения в корректности принципа, положенного в основу Периодического закона Л.И.Менделеева. И одновременно поставило вопрос о том, почему же этот закон нарушается для аргона и калия - единственной пары, у которой масса предшествующего элемента в ряду больше, чем масса последующего. (Для разрешения этого вопроса потребовался новый качественный скачок физики - открытие изотопов).

Единичные "неудачные" факты исключения в "научной картине мира" редко привлекают к себе массовое внимание ученых, поэтому работа по МСПП, как правило, спонтанно реализуется только в тех ситуациях, когда в конкретной области науки или техники накапливается группа родственных (или подозреваемых в родстве) фактов, не объяснимых с помощью имеющегося багажа знаний. Однако, зная о методе, можно сознательно его использовать, не дожидаясь, когда масса необъясненных фактов достигнет величины, понятной каждому. В этом смысле крайне ценным представляется анализ сегодняшней сиюминутной ситуации в конкретной области знаний каждого слушателя (или читателя). Поэтому самое время выполнить упражнения:

1. Назвать два-три открытия первого типа, выполненных по МСПП.

2. Назвать две-три группы открытий второго типа, выполненных по МСПП.

3. Для 2-3 областей знаний назвать группы родственных фактов, не объясненных наукой и предположительно выводящих на открытия нового принципа.

 

Моделювання та аналіз систем

 

Наши представления о реальных системах носят приближенный, модельный характер. Описывая в какой-либо форме реальную систему, мы создаем ее  информационную модель. Рассмотрим три разновидности информационных моделей систем:

1. модель черного ящика;
2. модель состава;
3. структурная модель.

Модель "черного ящика". Всякая система — это нечто цельное и выделенное из окружающей среды. Система и среда взаимодействуют между собой. В системологии используются представления о входах и выходах системы. Вход системы — это воздействие, на систему со стороны внешней среды, а выход — это воздействие, оказываемое системой на окружающую среду. Такое представление о системе называется моделью "черного ящика" (см. рисунок).

Модель "черного ящика" используется в тех случаях, когда внутреннее устройство системы недоступно или не представляет интереса, но важно описать ее внешние взаимодействия. Например, в любой инструкции по использованию бытовой техники (телевизор, магнитофон, стиральная машина и пр.) дается описание работы с ней на уровне входов и выходов: как включить, как регулировать работу, что получим на выходе. Такого представления может быть вполне достаточно для пользователя данной техникой, но не достаточно для специалиста по ее ремонту.

Модель "черного ящика" отражает лишь взаимодействие системы с окружающей средой. Такой подход к сложным системам был введен в кибернетике. Казалось бы, это простейшая модель, которая не углубляется во внутреннее устройство системы. Однако и внешние взаимодействия реальной системы оказываются бесконечно сложными. Поэтому модель "черного ящика", как и любая другая, строится в соответствии с целью моделирования, учитывая лишь те входы и выходы системы, которые существенны с точки зрения цели моделирования, назначения создаваемой модели.

Если описать компьютер как "черный ящик", учитывая только его информационное взаимодействие с внешней средой, то модель получится следующей:

Если, кроме информационного, учитывать еще и физическое взаимодействие компьютера с внешней средой, то на входе надо добавить: "электропитание", "температурное воздействие", "вибрационное воздействие". На выходе: "излучение экрана", "шум вентилятора", "нагрев от монитора". В таком расширенном списке входов и выходов следует выделить основные параметры и побочные. Основные — это те, которые связаны с главной функцией системы: работа с информацией. Среди побочных можно выделить необходимые (электропитание) и нежелательные (излучение экрана, шум вентилятора).

Модель можно расширить, добавив в нее экономические параметры, связанные с финансовыми расходами на входе (исходная цена, оплата электроэнергии, оплата за пользование Интернетом) и возможными доходами на выходе, если компьютер является рабочим инструментом, в результате использования которого человек зарабатывает деньги.

Модель состава системы дает описание входящих в нее элементов и подсистем, но не рассматривает связей между ними. Очевидно, что и модель состава компьютера может иметь разные варианты в зависимости от отражаемой в ней точки зрения на систему. Например:

Вариант 1: системный блок, клавиатура, монитор, принтер, мышь.

Вариант 2: оперативная память, внешняя память, центральный процессор, устройства ввода, устройства вывода.

Вариант 3: центральный процессор, ОЗУ, ПЗУ, жесткий диск, флоппи-диск, лазерный диск, информационная магистраль, клавиатура, монитор, контроллеры внешних устройств и пр.

Структурную модель системы еще называют структурной схемой. На структурной схеме отражается состав системы и ее внутренние связи. Наряду с термином "связь" нередко употребляют термин "отношение".

Наглядным способом описания структурной модели системы являются графы. На рисунке в виде ориентированного графа приведена структурная модель компьютера.

Здесь стрелки обозначают информационные связи между элементами системы. Направление стрелок указывает на направление передачи информации.

Однако если нас интересуют связи по управлению, то получится следующая граф-модель компьютера:

Здесь стрелка обозначает направление управляющего воздействия. Смысл схемы заключается в том, что процессор управляет работой всех остальных устройств компьютера.

Следовательно, структурная модель одной и той же системы может быть разной. Все определяется целями моделирования.

 

Модель чорного ящика

 

В целях исследований часто бывает удобно представить исследуемый объект в виде ящика, имеющего входы и выходы, не рассматривая детально его внутренней структуры. Конечно, преобразования в ящике (на объекте) происходят (сигналы проходят по связям и элементам, меняют свою форму и т. п.), но при таком представлении они происходят скрыто от наблюдателя.

По степени информированности исследователя об объекте возможно деление объектов на три типа «ящиков»:

• «белый ящик»: об объекте известно все;
• «серый ящик»: известна структура объекта, не известны количественные значения параметров;
• «черный ящик»: об объекте не известно ничего.

Черный ящик условно изображают как на рис ниже.

 

Рис. Изображение черного ящика

 

Значения на входах и выходах черного ящика можно наблюдать и измерять. Содержимое ящика неизвестно.

 

Регресійний аналіз

Задача состоит в том, чтобы, зная множество значений на входах и выходах, построить модель, то есть определить функцию ящика, по которой вход преобразуется в выход. Такая задача называется задачей регрессионного анализа.

В зависимости от того, доступны входы исследователю для управления или только для наблюдения, можно говорить про активный или пассивный эксперимент с ящиком.

Для начала, предположим, что мы имеем дело с черным ящиком, имеющим один вход и один выход.

 

Одномерная модель черного ящика

Линейная одномерная модель

Допустим для простоты, что зависимость между входом и выходом линейная или почти линейная. Тогда данная модель будет называться линейной одномерной регрессионной моделью. Иными словами, рассматривая экспериментально полученные данные, предположим, что они подчиняются линейной гипотезе, то есть выход Y зависит от входа X линейно:

 Y = A₀  + A₁X .

Пусть, например, перед нами стоит задача определить, как зависит выпуск продукции от количества потребляемой электроэнергии. Результаты наблюдений отобразим на графике. Всего на графике n экспериментальных точек, которые соответствуют n наблюдениям.

 

 

Графическое изображение множества экспериментальных точек и линейной гипотезы

 

Определение неизвестных коэффициентов A₀ и A₁ линейной одномерной модели

Для каждой из n снятых экспериментально точек вычислим ошибку (E_i) между экспериментальным значением (Y_i^Эксп.) и теоретическим значением (Y_i^Теор.), лежащим на гипотетической прямой A₁X + A₀ (см. рис. выше):

E_i = (Y_i^Эксп. – Y_i^Теор.), i = 1, …, n;

E_i = Y_i – A₀ – A₁ · X_i, i = 1, …, n.

Ошибки E_i для всех n точек следует сложить. Чтобы положительные ошибки не компенсировали в сумме отрицательные, каждую из ошибок возводят в квадрат и складывают их значения в суммарную ошибку F уже одного знака:

E_i² = (Y_i – A₀ – A₁ · X_i)², i = 1, …, n.

Цель метода — минимизация суммарной ошибки F за счет подбора коэффициентов A₀, A₁. Другими словами, это означает, что необходимо найти такие коэффициенты A₀, A₁ линейной функции Y = A₁X + A₀, чтобы ее график проходил как можно ближе одновременно ко всем экспериментальным точкам. Поэтому данный метод называется методом наименьших квадратов.

Суммарная ошибка F является функцией двух переменных A₀ и A₁, то есть F(A₀, A₁), меняя которые, можно влиять на величину суммарной ошибки (см. рис. ниже).

 

 

Рис. Примерный вид функции ошибки

 

Чтобы суммарную ошибку минимизировать, найдем частные производные от функции F по каждой переменной и приравняем их к нулю (условие экстремума):

После раскрытия скобок получим систему из двух линейных уравнений:

Для нахождения коэффициентов A₀ и A₁ методом Крамера представим систему в матричной форме:

Решение имеет вид:

Вычисляем значения A₀ и A₁.

 

Приклад. Розрахуємо коефіцієнти A₀ та A₁ за допомогою електронної таблиці Excel.

Вихідні дані – по 10 значень X_i та Y_i запишемо у стовпчики відповідно X та Y.

Рішення виконаємо у вигляді ланцюжку простих формул, проміжні значення будемо записувати у окремих комірках електронної таблиці. У комірках X12 та Y12  запишемо суми стовпчиків X1:X10  та Y1:Y10. Суму квадратів значень X_i запишемо у комірку X14 як функцію X14 =СУММКВ(X1:X10). Суму добутків ΣX_iY_i запишемо у комірку X16 у такий спосіб: X16 =СУММПРОИЗВ(X1:X10;Y1:Y10).

Значення A₀ запишемо у комірку R1=(Y12*X14-X16*X12)/(10*X14-X12*X12),

значення A₁ запишемо у комірку R2=(10*X16-Y12*X12)/(10*X14-X12*X12).

Тут необхідно зауважити, що для розрахунків коефіцієнтів лінійної регресії можна скористатися функцією Excel ЛИНЕЙН. Для порівняння, комірки M1 та N1 обчислюються за допомогою такої функції. Як бачимо, результати тотожні значенням R1 та R2.

Запишемо у стовпчик AA1:AA10 значення функції A₀  + A₁X, яку в таблиці обчислимо як

AA1:AA10=R1+R2*(X1:X10)

Відобразимо на діаграмі первісні значення (значення стовпчика Y1:Y10) окремими точками-маркерами, а результат лінійної апроксимації (стовпчик AA1:AA10) суцільною лінією.

 

 

Проверка

Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно, во-первых, рассчитать ошибку между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости и суммарную ошибку:

E_i = (Y_i^Эксп. – Y_i^Теор.), i = 1, …, n

И, во-вторых, необходимо найти значение σ по формуле , где F — суммарная ошибка, n — общее число экспериментальных точек.

Если в полосу, ограниченную линиями Y^Теор. – S и Y^Теор. + S (рис. 2.5), попадает 68.26% и более экспериментальных точек Y_i^Эксп., то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в полосу, ограниченную линиями Y^Теор. – 2S и Y^Теор. + 2S, должны попасть 95.44% и более экспериментальных точек Y_i^Эксп..

 

Рис. Исследование приемлемости линейной гипотезы

 

 

Расстояние S связано с σ следующим соотношением:

S = σ/sin(β) = σ/sin(90° – arctg(A₁)) = σ/cos(arctg(A₁)),

что проиллюстрировано на рисунке ниже.

 

Рис. Связь значений σ и S

 

Условие принятия гипотезы выведено из нормального закона распределения случайных ошибок. P — вероятность распределения нормальной ошибки.

 

Рис. Иллюстрация закона нормального распределения ошибок

 

---

Дата добавления: 2019-02-13; просмотров: 399; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!