Лабораторная работа №3. Моделирование марковских процессов и систем массового обслуживания.
Цель работы: знакомство с теорией случайных процессов, освоение способов моделирования сложных процессов и явлений, свойственных нефтегазовой индустрии. Изучение приёмов описания реальных технологических процессов с помощью элементов нечётких множеств. Исследование принципов моделирования марковских случайных процессов. Объяснение роли систем массового обслуживания для моделирования случайных процессов в различных сферах деятельности.
I. Из теории нечётких множеств
Пусть А и В – нечёткие множества, причём
А=(0,2/1; 0,5/2; 1,0/3); B =(0,8/1; 0,4/2; 0,5/3; 0,8/4).
Обычно рассматривают два набора определений основных операций над нечёткими множествами: максиминный ( mm ) и вероятностный ( p ).
Если требуется найти объединение нечётких множеств А и B , то:
A ∪ B = (0,8/1; 0,5/2; 1,0/3; 0,8/4) – ( mm ),
A ∪ B = (0,84/1; 0,7/2; 1,0/3; 0,8/4) – ( p ).
Пересечение нечётких множеств А и В:
A ∩ B = (0,2/1; 0,4/2; 0,5/3; 0,0/4) – (mm),
A ∩ B = (0,16/1; 0,2/2; 0,5/3; 0,0/4) – (p).
Задание №1. Работа с нечёткими множествами.
Для универсального множества U =( a , b , c , d , e , f , g ) и нечётких подмножеств A , B , C найти результат операций, предложенных в соответствии с вариантом (таблица 1).
,
,
Операции (согласно максиминному критерию):
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Таблица 1. Варианты для выполнения задания №1.
| № Варианта | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Набор операций | а, в, д | б, г, д | а, г, д | б, в, д |
II. Марковские случайные процессы.
Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его текущего состояния x ( t 0 ) и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
|
|
|
Для марковского процесса будущее зависит от прошлого только через настоящее.
Рис. 1. Типичный граф состояний системы.
Уравнения Колмогорова – дифференциальные уравнения особого вида, в которых неизвестными (искомыми) функциями являются вероятности состояний.
Если pi ( t ) – вероятность пребывания системы в состоянии Si в момент времени t, то:
(1)
Поток событий – последовательность однотипных ситуаций, следующих одна за другой в случайные моменты времени.
Для простейшего потока интенсивностью λ интервал времени между соседними событиями ∆ t описывается показательным распределением:
(2)
Распределение вероятностей состояний марковского процесса (рис. 1) можно отобразить как функции от времени (рис. 2):
Рис. 2. Вероятности состояний марковского случайного процесса.
При этом, начиная с некоторого момента tc вероятности практически перестают зависеть от времени, принимая некоторое стационарное значение.
|
|
|
Финальные вероятности – пределы вероятности состояний системы при t→∞, не зависящие от начального состояния системы: p 1 , p 2 , p 3 , p 4. При этом:
1) pi = const ;
2) pi - среднее относительное время пребывания системы в состоянии Sk
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 446; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!