Содержательная постановка задачи:
· составляет перечень сформулированных в словесной форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика;
· включена в техническое задание на проектирование и разработку модели.
2. Концептуальная постановка задачи:
- это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физика, геология, экономика и др.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.
* При построении концептуальной модели формулируется совокупность гипотез:
1) о поведении объекта;
2) о взаимодействии объекта с окружающей средой;
3) об изменении внутренних параметров
Согласно принятым гипотезам определяется множество параметров, описывающих состояние объекта и перечень законов, управляющих изменением этих параметров и их взаимосвязью.
3. Математическая постановка задачи:
- это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
| Законы (справедливы для всех объектов исследования) |
| Соотношения (для описания поведения отдельных объектов) |
Рис. 1. Структурная схема построения математической модели.
| Обеспечение корректности постановки задачи |
Рис. 2. Виды операторов математической модели.
Проверка корректности математической модели.
Математическая модель является корректной, если для неё проведён ряд проверок, по которым получен положительный результат. Основные критерии проверки корректности:
|
|
|
1) Контроль размерностей;
2) Контроль порядков;
3) Контроль характера зависимостей;
4) Контроль экстремальных ситуаций (если параметры близки к 0 или ∞, а также к критическим значениям);
5) Контроль граничных условий;
6) Контроль физического смысла;
7) Контроль математической замкнутости
Примеры формулировок задачи о баскетболисте.
Пример содержательной постановки задачи о баскетболисте.
* Постановка задачи: разработать модель, позволяющую описать полёт баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину.
* Модель должна позволить:
ü вычислить положение мяча в любой момент времени;
ü определить точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
• Масса m и радиус мяча r;
• Начальные координаты (x0, y0), начальная скорость v0 и угол броска мяча α;
• Координаты центра (Xk, Yk) и радиус корзины R.
Рис. 3. Графическая модель задачи о броске мяча в корзину.
Пример концептуальной постановки задачи о баскетболисте.
Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.
|
|
|
Гипотезы:
1) объект моделирования – баскетбольный мяч радиуса R;
2) мяч – материальная точка массой m;
3) движение в поле сил тяжести с ускорением g (уравнения классической механики Ньютона);
4) движение мяча в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли;
5) сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Параметры движения мяча:
1) координаты x и y;
2) скорость центра масс мяча (проекции vx и vy).
Критерий оценивания:
Точность броска – расстояние ∆ по горизонтали (вдоль оси х) от центра корзины до центра мяча (в конечный момент времени движения).
Рис. 4. Схема к постановке задачи о баскетболисте.
Таким образом, можно сформулировать концептуальную постановку задачи в следующем виде:
* Определить закон движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки x0 и y0, начальная скорость v0 и угол броска α0. Координаты центра корзины – xk и yk. Вычислить точность броска ∆ = x(tk) – xk , где tk – момент времени, когда мяч пересекает горизонтальную плоскость, проходящую через плоскость кольца корзины. tk >0.
Пример математической постановки задачи о баскетболисте[1]
|
|
|
* Векторная форма представления задачи о баскетболисте.
Требуется найти зависимости векторных параметров от времени – r ( t ) и v ( t ) – из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
Вычислить параметр ∆ по формуле:
Рис. 5. Расчётная схема для решения задачи в векторной форме.
Если спроецировать соотношения (1), (2), (3), (4) на оси координат, то получаем математическую постановку задачи в координатной форме.
* Координатная форма представления задачи о баскетболисте.
Найти зависимости x ( t ), y ( t ), vx ( t ), vy ( t ) из решения системы дифференциальных уравнений:
Начальные условия:
Вычислить параметр ∆ по формуле:
где tk определить из условий:
С математической точки зрения задача о баскетболисте сводится к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка с заданными начальными условиями.
Полученная система уравнений является замкнутой, поскольку число независимых уравнений (4 ОДУ и 2 алгебраических) равно числу искомых параметров задачи ( x, y, vx, vy, ∆, tk).
Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 1879; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!