Основные теоремы непрерывных функций.
Теорема 4.4.1. (о сохранении знака в окрестности точки непрерывности) Пусть функция f (х) непрерывна в точке х0 и f (х0)>0, тогда 
, что 
.
Доказательство.
Пусть 
, тогда из определения непрерывности 
, что 
; 
– искомое. Действительно,
,
.
Таким образом, 
.
Теорема 4.4.2.(Вейерштрасса) Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений (рис.4.26).
Доказательство читатель может прочитать в [4].
Рис.4.26. Непрерывная на отрезке функция ограничена
Рис.4.27. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума
В этой теореме нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, она не обязана быть ограниченной и может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной (рис. 4.27).
Теорема 4.4.3. Пусть функции f и g таковы, что существует композиция 
(сложная функция). Пусть функция f (х) непрерывна в точке х0, а функция g непрерывна в соответствующей точке 
. Тогда композиция 
непрерывна в точке х0.
Доказательство.
Пусть 
произвольна и 
, тогда из определения непрерывности f «по Гейне» 
. Обозначим 
, тогда 
, и из непрерывности g получаем 
. Другими словами 
или 
. Что и требовалось доказать.
Теорема 4.4.4. (о корне непрерывной функции). Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a ; b ], причём f ( a ) и f ( b ) – числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что f ( a )<0, а f ( b )>0.) Тогда существует хотя бы одно такое значение 
, что 
(то есть существует хотя бы один корень уравнения f ( x )=0).
|
|
|
Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень 
– единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке 4.28 их 3).
Рис. 4.28. Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень – единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0 (рис. 4.29).
Рис. 4.29. Монотонная функция не может иметь более одного корня.
Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 4.4.5. (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a ; b ] и 
(будем для определённости считать, что 
). Пусть c – некоторое число, лежащее между f ( a ) и f ( b ). Тогда существует хотя бы одно такое значение , что 
(рис.5.30) .
|
|
|
|
Рис. 4.30. Непрерывная функция принимает
любое промежуточное значение
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию 
, где 
. Тогда 
и 
. Функция 
, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка 
, что 
. Но это равенство означает, что 
.
Определение 4.4.4. Пусть f (х) некоторая функция. Она называется равномерно непрерывной, если
.
Пример 4.33.
не является равномерно непрерывной на (0;1), так как при заданном 
какое бы фиксированное число 
ни было взято, мы можем поместить точку 
так близко от 0, что значения 
и 
будут отличаться друг от друга больше, чем на e, хотя 
.
Теорема 4.4.6. (Кантора. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна.
Доказательство оставим читателю на самостоятельное изучение.
Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 279; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!