Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение 4.2.3.1. Последовательность называется бесконечно малой величиной, если .

Пример 4.9.

Приведем примеры бесконечно малых величин:

Утверждение 4.2.3.1. Всякую сходящуюся последовательность можно представить в виде суммы бесконечно малой величины и постоянной.

Доказательство.

Пусть дана , сходящаяся к а. Рассмотрим ( ), тогда

, что означает – бесконечно малая величина.

Определение 4.2.3.2. Последовательность называется бесконечно большой величиной, если .

Пример 4.10.

Приведем примеры бесконечно больших величин:

Теорема 4.2.3.1 (связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами).

1. Обратная к бесконечно малой величине – бесконечно большая величина ( ).

2. Обратная к бесконечно большой величине – бесконечно малая величина ( ).

3. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную – бесконечно малая величина ( ).

4. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной – бесконечно большая величина ( ).

Доказательство.

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть – бесконечно малая величина, то есть

тогда . Так как произвольно и сколь угодно мало, то – произвольно и сколь угодно большое. Обозначим . Номер N искомый Получаем, что . Значит – бесконечно большая величина.

Монотонные последовательности .

Определение4.2.4.1.

1. Если x_n₊₁ > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2. Если x_n₊₁ ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3. Если x_n₊₁ < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4. Если x_n₊₁ £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример 5.11.

Доказать, что последовательность x_n= монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности x_n₊₁= .

Найдем знак разности:

x_n–x_n₊₁ = , т.к. , то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n₊₁>x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема 4.2.4.1. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство.

Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х₁ £ х₂ £ х₃ £ … £ х _n £ x_n₊₁ £ …

Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число.

Так как любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то , и для любого e >0 существует такое число , что , где а – некоторая верхняя грань множества. Так как {x_n} –неубывающая последовательность, то при , а значит . Отсюда . То есть

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.

Предел функции

Пусть f(x) определена на множестве Х.

Определение 4.3.1. Число А называется пределом функции f(x) при х х₀, если для любого e >0 можно указать такое , что для х, удовлетворяющих соотношению 0 < , выполняется неравенство: (рис.4.19).

y f ( x )

A + e

A – e

0 х₀ – d х₀ х₀ + d x

Рис. 4.19. Решение неравенства

Пример 4.12.

Доказать, (найти ), что

Þ по определению

Определение 4.3.2. Функция у = f ( x ) имеет бесконечный предел при х, стремящемуся к х₀ (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если такое, что при 0<|x – x₀| <δ Þ |f(x)| > E.

Обозначение:

Определение 4.3.3. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если (

Аналогично можно определить бесконечный предел на бесконечности.

Определение 4.3.4. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀ слева (справа), если такое, что при

0 < x₀– х < δ (0 < х – х₀< δ) |f(x) – A|< ε .

Обозначения: .

Теорема 4.3.1. Функция y = f ( x ) имеет при х, стремящемся к х₀, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.

Доказательство.

Необходимость.

Если , то и для 0 < x₀– х < δ, и для 0 < х – х₀< δ

|f (x) – A| < ε, то есть

Достаточность.

Если , то для произвольного ε

существует δ₁, при 0 < x₀– x < δ₁ |f(x) – A| <ε, и δ₂, при 0 < х–х₀< δ₂ |f (x)– A| < ε. Выбрав из чисел δ₁ и δ₂ меньшее и приняв его за δ, получим, что при

0 < |x – x₀| < δ |f (x) – A| < ε, то есть Теорема доказана.

Ранее введенное определение предела ещё в литературе называют определением «по Коши». Дадим другое определение этого понятия «по Гейне».

Определение 4.3.5. Число А называется пределом функции у = f(x), если

Теорема 4.3.2.

Определения предела функции «по Коши» и «по Гейне» эквивалентны.

Теорема 4.3.3. (предел и арифметика для функций)

Пусть и , тогда существуют , и, в случае , , и эти пределы, соответственно, равны .

Доказательство.

Рассмотрим произвольную последовательность .

По теореме 4.2.1, например, . Из определения по Гейне получаем требуемое. Теорема аналогично доказывается и для других операций.

Теорема 4.3.4. (лемма о двух милиционерах)

Если f ( x ) ≤ φ( x ) ≤ g ( x ) в некоторой окрестности х₀ и , то существует и

Доказательство аналогично теореме 4.3.3. со ссылкой на теорему 4.2.3.

Бесконечно малые функции.

Определение 4.3.1.1. Функция у =α(х) называется бесконечно малой при х→х₀, если

Свойства бесконечно малых функций.

1. Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство.

Если α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х₀, то существуют δ₁ и δ₂ такие, что |α(x)| < ε/2 и |β(x)| < ε/2 для выбранного значения ε. Выбрав из чисел δ₁ и δ₂ меньшее и приняв его за δ, получим, что при 0 < |x – x₀| < δ

|α(x) + β(x)| ≤ |α(x)| +|β(x)| < ε.

Следовательно, , то есть α(х)+β(х) – бесконечно малая.

Замечание. Отсюда следует, что сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Если α(х) – бесконечно малая при х → х₀, а f(x) – функция, ограниченная в некоторой окрестности х₀, то α(х) f(x) – бесконечно малая при х → х₀.

Рассмотрим функции α(х) и β(х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀.

Определение 4.3.1.2. Если то α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые (α(х) ~β(х)).

Определение 4.3.1.3. Если , то α(х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β(х).

Определение 4.3.1.4. Если то α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х) (α(х) = о(β(х))).

Утверждение 4.3.1.1. Пусть существует предел , где и – бесконечно малые при х → х₀. Пусть также и . Тогда существует

То есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

Доказательство.

Для доказательства напишем такое равенство

и заметим, что эквивалентность величин и , и означает, что первый и второй пределы в правой части этой формулы равны 1.

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

Теорема 4.3.1.1. (первый замечательный предел)

Доказательство.

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол V О U равен х (радиан). Сравним площади треугольника V О U, сектора V О U и треугольника W О U. Очевидно, что .

Рис. 4.20.Доказательство первого замечательного предела

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим, что , или sinx < x < tgx. Разделив все части неравенства на sinx (при 0 < x < π/2 sinx > 0), запишем неравенство в виде: .