Основные теоремы сходящихся последовательностей.

Пределы последовательностей и функций

Функции и их графики

Основные определения и обозначения.

Определение 4. 1 . 1.1. Пусть А и В – два произвольных множества. Функцией из А в В называется соответствие между элементами множества А и множества В, при котором каждому элементу сопоставляется какой-либо один элемент . При этом у называется значением функции f на элементе х, что записывается как y = f(x) или . Тот факт, что функция f переводит элементы в элементы , записывается так: . Множество А называется областью определения функции f и обозначается (рис.4.1).

Рис. 4.1. Множество А отображается функцией f в множество В

Определение 4.1.1.2. Множество значений функции

Во-первых, множество не обязано совпадать со всем множеством В, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие , что , но . В таком случае часто говорят, что элементы х₁и х₂ склеиваются при отображении f.

Если , то есть для любого элемента найдётся элемент такой, что y = f(x), то функция f называется отображением А на В (в общем случае – это отображение из А в В). Отображение "на" также называют сюръекцией.

Если для любых двух разных элементов ( ) значения тоже разные ( ), то отображение f называется инъекцией множества А в множество В.

Пример 4.1.

Пусть и отображение f для задано формулой . Тогда f – сюръекция, так как любое число у из отрезка [–1;1] равно значению при некотором х (рис.4.2).

Рис. 4.2. Все числа уÎ[–1;1] – это значения функции

Пример 4. 2.

Пусть и отображение задано при формулой f(x) = x³. Тогда отображение f одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как

1) любое значение есть значение x³ при некотором x;

2) никакие два разных значения не могут дать одинаковых значений , так как из неравенства следует неравенство (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Кубы разных чисел не совпадают

Определение 4.1.1.3. Отображение , которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно–однозначным соответствием между множествами А и В, или биекцией. Это означает, что каждому элементу сопоставляется ровно один элемент , причём для каждого элемента имеется такой элемент , который сопоставлен этому y.

Определение 4.1.1.4. Если – биекция, то отображение, сопоставляющее каждому тот элемент , который переходит в этот самый y при отображении f, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению f и обозначается f^––1. Таким образом, и тогда и только тогда, когда f(x)=y ( , ).

Рис.4.4. Функции f и f^–1взаимно обратны

Итак, для того чтобы функция имела обратную функцию , функция f должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно–однозначное соответствие между А и В. Тогда обратная функция f^–1устанавливает взаимно–однозначное соответствие между В и А.

Пример 4.3.

Функция , заданная формулой f(x)=x², – это биекция. Обратная к ней функция – это квадратный корень: (рис. 4.5).

Рис.4.5. Функции y=x² и x= – взаимно обратны

В математическом анализе основную роль играют такие функции f, у которых значениями служат вещественные числа. Такие функции f называются числовыми.

Замечание. Мы ограничимся в основном такими числовыми функциями f, область определения которых также является подмножеством числовой прямой. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного.

Определение 4.1.1.5. Графиком функции называется множество пар (x ; y) элементов и , такое, что в каждой паре (x ; y) второй элемент y – это значение функции , соответствующее первому элементу пары, то есть x.

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций.

Наибольший интерес представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих разделах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно–описательного до задания функции формулой вида = у. Способ задания функции зависит от того, какова природа множеств А и В и как по заданному определяется = у Î В.

Свойства функций:

1) функция называется нечетной, если , её график симметричен относительно начала координат;

функция называется четной, если , график такой функции симметричен относительно оси Оу;

2) функция называется периодичной, если , наименьшее возможное Т, обладающее таким свойством, называется периодом функции;

3) функция называется ограниченной, если ;

4) преобразование графиков функции.

Пусть известен график функции f(x), тогда

а) график функции g(x) = f(x)+А получен из исходного параллельным переносом вдоль оси Оу на А единиц;

б) график функции g(x)=kf(x) получен из исходного растяжением (при k >1) и сжатием (при 0 < k < 1) относительно оси Оу в k раз , при k= –1 график симметрично отображается относительно оси Ох;

в) график функции g(x) = f(x +а) получен из исходного параллельным переносом вдоль оси Ох на –а единиц;

г) график функции g(x) = f(mx), получен из исходного растяжением (при 0 < k < 1) и сжатием (при k >1) относительно оси Ох в k раз , при k = –1 график симметрично отображается относительно оси Оу.

Замечание. Если f(x) периодическая функция с периодом Т, то f(mx) – периодическая с периодом .

Элементарные функции.

Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.

1. Линейная функция. Это функция вида . Число k называется угловым коэффициентом, а число b – свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости Оху, не параллельная оси Оу.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла a наклона графика к положительному направлению оси Ох (рис.5.6).

Рис.4.6. График линейной функции – прямая

2. Степенная функция. Это функция вида .

Рис.4.7. График степенной функции при

А если a – не целое число положительное число, то _.

Рис.4.8. График степенной функции при

3. Показательная функция. Это функция вида (a >0, ). Для неё и при a >1 график имеет такой вид:

Рис.4.9. График показательной функции при a >1

При a<1 вид графика такой:

Рис. 4.10. График показательной функции при a <1

Число a называется основанием показательной функции.

4. Логарифмическая функция. Это функция вида (a >0, ). Для неё , и при a >1 график имеет такой вид:

Рис.4.11. График логарифмической функции при a >1

При a <1 график получается таким (рис 4.12).

Рис. 4.12. График логарифмической функции при a <1

Число a называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.

5. Тригонометрические функции:

а) функция синус: . Функция периодична с периодом 2p и нечётна. Её график таков (рис.4.13).

Рис.4.13. График функции

б) функция косинус: . Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; период функции равен 2p, и функция чётна. Её график таков (рис.4.14).

Рис.4.14. График функции

в) функция тангенс: . Функция нечётна и периодична с периодом p; (рис.4.15).

Рис.4.15. График функции

г) Функция котангенс: . Функция нечётна и периодична с периодом p; (рис.4.16).

Рис. 4.16. График функции

Классификация функций.

I. Алгебраические:

1) многочлен.

Это функция вида , где , . Число называется степенью многочлена. При n = 1и n = 2 многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией.

2) дробно–рациональная функция

3) иррациональная функция – функция аналогичная дробно–рациональной, но возможно возведение не только в натуральные, но и в рациональные степени.

II. Все остальные функции принято называть трансцедентными.

Пример 4.4.

Найти область определения функций:

а) б) в)

Решение:

а)

Так как подкоренное выражение существует только для неотрицательных значений, а на «ноль» делить нельзя, то ООФ (область определения функции) описывается неравенством: (1–х)(1+х)>0, по методу интервалов имеем: х =1, х = –1 (нули функции) (рис. 4.17).

–

Рис. 4.17. Решение неравенства

Требуемое множество .

Таким образом, D(у) = .

б) .

Так как логарифмическая функция существует только от положительных значений, то ООФ описывается неравенством:

(рис.4.18).

–

–2

Рис. 4.18. Решение неравенства

Таким образом, D(у) = .

в) .

Так как кубический корень существует для всех х, а функция не определена при х = 0, то ООФ есть все х кроме х = 0.

Таким образом, D(x) =

Пример 4.5.

Найти область значений функции (ОЗФ).

а) у = cos(x+1), б) у = .

Решение.

а) у = cos(x+1).

Так как ООФ будет , а функция косинуса подчиняется условию: , то ОЗФ будет: .

б) .

ООФ: .

На основании рисунка 4.9 читатель легко убедится, что у может принимать значения от 0 до .

Таким образом: .

Пример 4.6.

Установить четность или нечетность функции:

а) , т.к. D(у) симметричная область и эта функция нечетная.

б) , т.к. D(у)симметричная область

эта функция четная.

в) ,т.к. D(у)не симметричная область, то это функция общего вида.

Пределы последовательностей

Определение 4.2.1.Числовая последовательность – соответствие, при котором каждому натуральному числу сопоставляется единственное вещественное число.

Таким образом, получаем бесконечный набор вещественных чисел – числовую последовательность , – общий член последовательности.

Пример 4.7:

Примеры числовых последовательностей:

Определение 4.2.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого >0 найдется такой номер (зависящий от ), что при всех n выполняется неравенство: |x_n – a| < .

Пример 4.8.

Доказать, что .

Решение.

Фиксируем произвольное достаточно малое , тогда из неравенства

выразим n через ,

, так как .

. Тогда за номер примем целую часть числа плюс . Тогда, начиная с этого номера, выполняется неравенство, поэтому существование предела доказано.

Определение 4.2.3. Если имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Вернемся к примеру 1. Среди рассмотренных в нём последовательностей 1–я, 2–я и 3–я последовательности сходящиеся, а 4–я – расходящаяся.

Свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность ограничена;

2) всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел;

3) предел постоянной последовательности равен этому же числу.

Основные теоремы сходящихся последовательностей.

Теорема 4.2.1. (предел и арифметика). Пусть даны последовательности и , причём сходится к а, сходится к b , тогда

1) сходится,

2) сходится,

3) если , сходится,

Доказательство.

1. Докажем сходимость суммы двух сходящихся последовательностей.

Пусть >0 и произвольно, тогда найдутся номера N₁ и N₂ такие, что при , . Выберем номер N равным максимальному значению из N₁ и N₂, этот номер искомый. Действительно, пусть и произвольно, тогда

То есть

2. Докажем сходимость произведения двух сходящихся последовательностей в случае, когда (при b=0 доказательство очевидно).

Пусть e >0 и произвольно. Так как сходящаяся последовательность ограничена, то . А также найдутся номера N₁ и N₂ такие, что при , . Выберем номер N равным максимальному значению из N₁ и N₂, этот номер искомый. Действительно, пусть и произвольно, тогда