Модель и комплексный чертеж прямых общего положения

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

Предмет начертательной геометрии

Начертательная геометрия возникла в конце 18 века в период бурного развития техники, когда стало необходимым точное соответствие между оригиналом и его отображением на плоскости.

Объектом исследования в начертательной геометрии является геометрическое тело, методом исследования – метод проекций.

Предметом начертательной геометрии является изучение законов соответствия между оригиналом и его плоским отображением. Целью изучения начертательной геометрии является освоение метода проекций, используемого в черчении.

Основоположником начертательной геометрии был французский математик Гаспар Монж.

Виды проецирования

Центральное проецирование

Изобразим модель центрального проецирования (рис.1.1)

Рисунок 1.1. Модель центрального проецирования.

Аппарат проецирования состоит из:

П_i – плоскости проекций;

– центра проецирования;

А – объект;

А_i – проекция точки А (точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку А, с плоскостью проекций)

Параллельное проецирование

Центр проецирования удален в бесконечность. Тогда проецирующие лучи можно условно считать параллельными между собой (рис.1.2).

Рисунок 1.2. Модель параллельного проецирования

Аппарат проецирования состоит из:

П_i – плоскости проекций;

S – центра проецирования;

А – объект;

A_i – прокция точки А

f – угол наклона проецирующего луча к плоскости проекций.

Различают косоугольное и прямоугольное проецирование:

=|AA_i^П_i| ≠90˚ - косоугольное;

=| AA_i^П_i| =90˚- прямоугольное.

В курсе начертательной геометрии изучается параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование.

Проецирование точки на две плоскости проекций

Аппарат проецирования состоит из:

1) 2-х взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П₁^ П₂;

2) 2-х направлений проецирования ₁^ П₁ и ₂^ П₂.

Изобразим модель проецирования (рис.1.3).

Рисунок 1.3. Модель проецирования

Две взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 4 части – I, II, III, IV четверти. В данном курсе объекты исследования будут чаще всего располагаться в I четверти.

Основные понятия:

П₁ – горизонтальная плоскость проекций;

П₂ – фронтальная плоскость проекций;

х – ось проекций х, которая является линией пересечения двух плоскостей проекций x=П₁ÇП₂;

А₁ – горизонтальная проекция точки А (точки пересечения проецирующего луча, проведенного через точку А с плоскостью проекций П₁);

А₂ – фронтальная проекция точки А.

АА₁^ П₁® å^ П₁

АА₂^ П₂® å^ П₂

Таким образом плоскость å является перпендикулярной оси проекций х. Тогда А_хА₁^х и А_хА₂^х

Рисунок 1.4. Комплексный чертеж точки А.

Перейдём к комплексному чертежу, совмещая П₁вращением вокруг оси х с плоскостью проекций П₂.

При этом на комплексном чертеже остаются только проекции точки, а сама точка исчезает (рис.1.4). В пространстве - точка, на комплексном чертеже - проекции точки.

Основные понятия:

h_А – высота точки А, которая определяет расстояние точки А до горизонтальной плоскости проекций П₁;

f_А – глубина точки А, которая определяет расстояние точки А до фронтальной плоскости проекций П₂.

Сформулируем первое из основных свойств ортогонального проецирования. Проекция точки есть точка.

А®А_i

(1)

Сформулируйте основные свойства комплексного чертеже точки:

1) для определения положения точки в пространстве необходимо и

достаточно две проекции точки;

2) две проекции точки лежат на одной линии связи;

3) сама линия связи всегда перпендикулярна оси проекций АА₁^Х

1.4 Проецирование точки на три плоскости проекций

Аппарат проецирования состоит из:

1) 3-х взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П₁^ П₂ ^ П₃;

2) 3-х направлений проецирования ₁^ П₁ , ₂^ П₂, ₃^ П₃.

Изобразим модель проецирования (рис.1.5):

Рисунок 1.5. Модель проецирования.

Новые понятия:

П₃ – профильная плоскость проекций

y – ось проекций «y» , которая является линией пересечения двух плоскостей проекций

y=П₁ÇП₃;

z – ось проекций «z», которая также является линией пересечения двух плоскостей проекций

z=П₂ÇП₃;

А₃ – профильная проекция точки А.

А_х, А_y, А_z – вспомогательные точки.

Перейдём от модели к комплексному чертежу. Для этого условно разрежем вдоль оси Оy, после чего можно вращением вокруг оси «Х» совместить П₁ с П₂, а вращением П₃ вокруг оси «z» совместить П₃ с П₂.

При этом на комплексном чертеже остаются только проекции точки (рис.1.6).

Рисунок 1.6. Комплексный чертеж точки А.

Новые понятия:

р_А – широта точки А, которая определяет расстояние точки А до профильной плоскости проекций.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМЫХ

Модель и комплексный чертеж прямых общего положения

Первый постулат Евклида гласит: через две точки можно провести прямую и только одну.

Прямая в пространстве по отношению к плоскостям проекций может занимать произвольное или частное положение. Прямая произвольно расположенная относительно плоскостей проекций называется прямой общего положения. Изобразим прямую общего положения на модели (рис.2.1).

Рисунок 2.1. Модель прямой общего положения

Точку А выберем лежащей в плоскости П₁. Высота точки А равна нулю. В точке А прямая l пересекает плоскость П₁. А=l∩П₁ – горизонтальный след прямой l .

Точку В выберем лежащей в плоскости П₂. Глубина точки В равна нулю. В точке В прямая l пересекает плоскость П₂. В=l∩П₂ – фронтальный след прямой l .

Прямая l определяется двумя точками l(АВ). Перейдем к комплексному чертежу (рис.2.2).

Рисунок 2.2. Комплексный чертеж прямой l

Проекции прямой общего положения на комплексном чертеже расположены под произвольными углами к осям проекций.

Выберем произвольную точку С на прямой l и сформируем второе свойство ортогонального проецирования.

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой.

Теперь определим в каком отношении проекции точки С делят соответствующие проекции отрезка АВ.

Из ∆А₁В₁В₂ по теореме Фалеса следует:

Из ∆А₁А₂В₂ следует:

Сформулируем третье правило ортогонального проецирования:

Проекция точки делит проекцию отрезка прямой в таком отношении, в каком точка делит сам отрезок.

Прямые частного положения

Прямые, параллельные либо перпендикулярные плоскостям проекций называются прямыми частного положения

Прямые проецирующие

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Изобразим их сначала на модели, а затем и на комплексном чертеже (рис.2.3, 2.4)