Метод наименьших квадратов

 

Основоположниками метода наименьших квадратов являются Лежандр, Р.Андре, Гаусс. Этот метод часто применяют в задачах выравнивания или сглаживания.

Пусть в результате наблюдений химического эксперимента получен ряд точек (х₁;у₁), (х₂;у₂), …, (х_n;у_n) (рис.11).

Рис.11. Результате наблюдений химического эксперимента.

 

Согласно методу наименьших квадратов - сумма квадратов отклонений опытных точек () от точек, рассчитанных по теоретической кривой () должна быть минимальной.

(6)

- значения точек, полученные в ходе эксперимента.

- точки, лежащие на прогнозируемой кривой. Мы предполагаем линейную зависимость (линейную структуру) - . Поэтому записываем:

(7)

Функция S - функция двух независимых переменных а₀ и а₁. Для определения экстремума функции нескольких переменных необходимо обращение в нуль ее частных производных первого порядка, что приводит к уравнениям:

(8)

Сокращая все члены уравнения на 2 и группируя члены, содержащие а₀ и а₁, получаем:

 

(9)

Для определения значений а₀ и а₁ следует решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим а₀ из первого уравнения и подставим его выражение во второе уравнение, которое решим относительно а₁.

, (10)

, (11)

(12)

 

---

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!