Критерий устойчивости Найквиста
На практике, помимо критерия Михайлова, более широкое применение получил критерий Н.Найквиста, разработанный в 1932 году. Этот метод анализа устойчивости систем автоматического управления получил в настоящее время наиболее широкое распространение благодаря его простоте, отсутствию сложных вычислений, богатству физического содержания, наглядности результатов, легкости постановки эксперимента для проверки расчетов или получения недостающих сведений.
Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (замкнутая система) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Понятие амплитудно-фазовой частотной характеристики подробно рассмотрено в п. 2.8.
Рассмотрим применение данного критерия для системы с единичной обратной связью, структурная схема которой приведена на рис. 5.12, а. Для исследования замкнутой системы на устойчивость, при применении критерия Найквиста, эту систему разрывают в какой-нибудь точке соединения обратной связи (рис. 5.12, а). При этом замкнутая система превращается в разомкнутую систему.
Рисунок 5.12 – Понятие критерия Найквиста
Критерия Найквиста можно понять если рассмотреть простейший пример (рис. 5.12, б). Пусть на вход разомкнутой системы W(s) поступает синусоидальный сигнал 
постоянной амплитуды 
и частоты 
.
|
|
|
Пройдя через систему, этот сигнал появиться на выходе в виде синусоидальных колебаний 
той же частоты, но с амплитудой 
и фазой 
, отличной от тех же параметров входного сигнала.
Пусть фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами равен 
и замкнем нашу систему (рис. 5.12, б). Если в этом случае амплитуда выходного сигнала меньше чем амплитуда входного (
), то выходной сигнал будет компенсировать входной и, с течением времени, амплитуда колебаний на выходе замкнутой системы будет стремиться к нулю. Такая замкнутая система оказывается устойчивой.
Если же амплитуда выходного сигнала будет больше чем у входного (
), то с течением времени в замкнутой системе амплитуда колебаний на выходе будет возрастать, стремясь к бесконечности. Такая система является неустойчивой.
В случае равенства амплитуд сигналов на входе и выходе системы (
), в ней возникают незатухающие колебания с постоянной амплитудой. Такая система окажется на грани устойчивости.
Таким образом можно сформулировать критерий Найквиста: чтобы замкнутая система была устойчива, нужно чтобы при прохождении через разомкнутую систему синусоидального гармонического сигнала отношение амплитуд сигналов на выходе и входе было меньше единицы, а фазовый угол сдвига был меньше 180°.
|
|
|
Частотные характеристики разомкнутой системы можно определить, если известна ее передаточная функция W(s). Согласно определения передаточной функции 
. Поэтому, из-за свойств преобразования Лапласа, при установившихся синусоидальных колебаниях действительная часть комплексной переменной s равна нулю, а мнимой части можно придать физический смысл частоты, то есть 
. Отсюда получим:
. (5.15)
Таким образом, если в выражение для передаточной функции подставить чисто мнимое значение ее переменной , то получим ее форму, называемую частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой характеристикой 
.
Функция при каждом значении частоты w является комплексной величиной и поэтому может быть записана в показательной форме:
, (5.16)
где 
, и 
называют соответственно модулем и аргументом частотной передаточной функции.
В алгебраической форме функция может быть представлена как:
, (5.17)
где, соответственно, 
- вещественная, а 
- мнимая части функции.
Амплитудно-частотная характеристика является модулем этой комплексной функции:
, (5.18)
а фазо-частотная характеристика определяется как
|
|
|
. (5.19)
Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится следующим образом. Для каждого конкретного значения частоты w на комплексной плоскости (рис. 5.13) строится точка. Ее координата по оси абсцисс соответствует значению вещественной части передаточной функции U(w), а по оси ординат – мнимой V(w). Затем аналогичным образом находят точки для других частот в диапазоне от 0 до бесконечности, соединив которые получаем кривую амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ).
Рисунок 5.13 – Годограф Найквиста для устойчивой (2) и неустойчивой (1) систем
Как было сформулировано ранее, условие устойчивости сводится к обеспечению значения амплитудно-частотной характеристики системы меньше единицы для частоты, при которой значение фазо-частотной характеристики равно 
. Отсюда критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом.
Замкнутая система автоматического регулирования будет устойчивой, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку с координатами 
.
На рис. 5.13 показаны примеры частотных характеристик устойчивых и неустойчивых замкнутых систем.
Рассмотрим пример определения устойчивости систем автоматического управления с помощью критерия Найквиста. Пусть замкнутая система автоматического регулирования имеет структурную схему, изображенную на рис. 5.14.
|
|
|
Рисунок 5.14 – Пример структурной схемы системы
Передаточные функции системы имеют вид:
(5.20)
Приведем структурную схему к типовому виду, изображенному на рис. 5.12, а. Для этого, согласно правилу 1 преобразования структурных схем, заменим три последовательно включенных динамических звена одним, с эквивалентной передаточной функцией, равной произведению передаточных функций каждого звена
.
Раскрывая скобки, получим передаточную функцию разомкнутой системы
. (5.21)
Выполним в (5.21) подстановку и сгруппируем составляющие
. (5.22)
Для того, чтобы избавиться от j в знаменателе, умножим числитель и знаменатель (5.22) на комплексно-сопряженную величину знаменателя
.
В этом случае, используя алгебраическое свойство
,
выражения (5.22) запишется как
. (5.23)
Обозначим вещественную и мнимую части амплитудно-фазовой характеристики как:
Составим таблицу величин 
для различных значений частоты от нуля до бесконечности (табл. 5.2).
Таблица 5.2. Точки амплитудно-фазовой характеристики
| 
| |||||
| 1,11 | -0,93 | -0,71 | -0,36 | ||
| 5,3 | 2,1 | 0,91 | 0,29 |
На рис. 5.15 приведена амплитудно-фазовая характеристика, построенная согласно расчетам табл. 5.2. Из графика кривой видно, что характеристика не охватывает точку с координатами -1, 0j, следовательно, замкнутая система на рис. 5.14 будет устойчива.
Рисунок 5.15 – Амплитудно-фазовая характеристика системы для примера 1
Применение программы MathCAD позволяет резко упростить определение устойчивости системы с помощью критерия Найквиста. Рассмотрим это на конкретном примере. Пусть замкнутая система имеет структурную схему, изображенную на рис. 5.14. Передаточные функции звеньев
(5.24)
На рис. 5.16 приведен текст программы для MathCAD по определению устойчивости данной системы.
Рисунок 5.16 – Определение устойчивости системы с
использованием программы MathCAD
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы охватывает точку с координатами -1, j0, следовательно, замкнутая система будет неустойчивой.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 27; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!