Понятие устойчивости системы автоматического управления
«Бытовое» понятие устойчивости известно нам с детства. Например, табуретка с двумя ножками неустойчива, она упадет при малейшем дуновении ветра, а с тремя – устойчива. Всем знакомый пример неустойчивой системы – близко расположенные микрофон и колонки, которые начинают «свистеть». Неустойчивость может привести к трагическим последствиям. Достаточно вспомнить аварии самолетов, попавших в грозовой фронт или в штопор, взрыв ядерного реактора на Чернобыльской атомной станции в 1986 г.
Термин «устойчивость» используется в численных методах, механике, экономике, социологии, психологии. Во всех этих науках имеют в виду, что устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния.
Таким образом, устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из этого состояния и прекращения действия возмущения.
Рассмотрим понятие устойчивости на простом физическом примере (рис. 5.1). Шарик на рисунке находится в устойчивом равновесии в положении А – если немного сдвинуть его с места, он скатится обратно в ямку.
Рисунок 5.1 – К определению устойчивости
Однако мы можем заметить, что если шарик сильно отклонить от равновесия, он может свалиться через горку вбок, то есть устойчивость нарушится.
В положениях Б и В шарик также находится в положении равновесия, но оно неустойчиво, так как при малейшем сдвиге в сторону шарик скатывается с вершины.
|
|
|
В положениях Г и Д равновесие шарика нейтральное – при небольшом смещении он остается в новом положении. При этом говорят, что система нейтрально устойчива, то есть находится на границе устойчивости.
Можно показать, что система «шарик-горка» – нелинейная. Как мы увидели, для нее:
· устойчивость – не свойство системы, а свойство некоторого положения равновесия;
· может быть несколько положений равновесия, из них некоторые – устойчивые, а некоторые – нет;
· положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонениях (система устойчива «в малом») и неустойчиво при больших отклонениях(«в большом»).
Устойчивость бывает разная. Известно несколько определений устойчивости, которые отличаются некоторыми деталями. Если рассматривается только выход системы при различных ограниченных входах, говорят об устойчивости «вход-выход» (рис. 5.2).
Кроме того, часто изучают устойчивость автономной системы, на которую не действуют внешние сигналы (все входы нулевые). Предполагается, что систему вывели из положения равновесия (задали ненулевые начальные условия) и «отпустили». Система, которая сама возвращается в исходное положение равновесия, называется устойчивой. Если при этом рассматривается только выход системы (а не ее внутренние сигналы), говорят о «технической устойчивости» (или устойчивости по выходу). Напротив, внутренняя или математическая устойчивость означает, что не только выход, но и все внутренние переменные (переменные состояния) приближаются к своим значениям в положении равновесия.
|
|
|
В некоторых задачах основной рабочий режим – это периодические колебания, поэтому можно рассматривать устойчивость процессов, а не только положения равновесия. Однако почти все такие системы – нелинейные, и эти вопросы выходят за рамки нашего пособия.
Рисунок 5.2 – Устойчивость «вход – выход»
Обычно для инженеров практиков в первую очередь важно, чтобы система не «пошла вразнос», то есть, чтобы управляемая величина не росла неограниченно при всех допустимых входных сигналах. Если это так, говорят, что система обладает устойчивостью «вход-выход» (при ограниченном входе выход также ограничен). Заметим, что при этом нас не интересует, как меняются внутренние переменные объекта, важен только вход и выход.
Рассмотрим ванну, которая наполняется водой из крана. Модель этой системы – интегрирующее звено. При постоянном (ограниченном по величине!) входном потоке уровень воды в ванне будет неограниченно увеличиваться (пока вода не польется через край), поэтому такая системе не обладает устойчивостью «вход-выход».
|
|
|
В отличие от устойчивости «вход-выход», понятие «техническая устойчивость» относится к автономной системе, у которой все входные сигналы равны нулю.
Положением равновесия называют состояние системы, которая находится в покое, то есть, сигнал выхода y(t) – постоянная величина, и все его производные равны нулю.
Систему выводят из положения равновесия и убирают все возмущения. Если при этом с течением времени (при t → ∞) система возвращается в положение равновесия, она называется устойчивой. Если выходная координата остается ограниченной (не уходит в бесконечность), система называется нейтрально устойчивой, а если выход становится бесконечным – неустойчивой.
Если вернуться к примеру с ванной, становится понятно, что эта система – нейтрально устойчива, потому что уровень воды остается постоянным, когда мы перекроем кран. С одной стороны, уровень воды не возвращается к предыдущему значению, а с другой – не растет бесконечно (система не является неустойчивой).
|
|
|
Говоря о внутренней устойчивости, рассматривают не только выход, но и все переменные, описывающие состояние системы. Рассмотрим это на примере механической системы, изображенной на рис. 5.3. Она состоит из груза массой m, пружины жесткостью c и демпфера с коэффициентом трения k.
Рисунок 5.3 – К понятию внутренней устойчивости
Входом здесь является механическая сила F(t), приложенная к грузу, а выходом – его перемещение y(t). Уравнение, связывающее вход с выходом выглядит как (2.9):
Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши. Для этого введем две новые переменные, называемые переменными состояния:
Отсюда уравнение нашей системы может быть записано в нормальной форме Коши:
Переменные состояния образуют некоторый вектор состояния 
, характеризующий внутреннее состояние нашей системы. Поэтому уравнение движения любой системы может быть представлено как
(5.1)
Устойчивость определяется для некоторого положения равновесия. В положении равновесия все производные равны нулю, то есть 
, где 
– вектор состояния для положения равновесия.
Предположим, что систему вывели из положения равновесия в некоторое начальное состояние 
(задали начальные условия), а потом внешнее воздействие прекратили. Дальнейшее изменение координат («движение» системы x(t)) можно найти как решение уравнения (5.1) при заданных начальных условиях.
Нестрого говоря, устойчивость означает, что все движения x(t), которые начинаются близко от положения равновесия , при всех значения времени t остаются в некоторой окрестности .
Лучше, конечно, если система не просто устойчива, а еще и возвращается в положение равновесия, то есть, x (t) стремится к при t → ∞. В этом случае говорят об асимптотической устойчивости.
Формальное определение внутренней устойчивости было введено в работах А.М. Ляпунова, поэтому такое понятие устойчивости принято называть устойчивостью по Ляпунову.
Для простоты рассмотрим систему первого порядка, с одной переменной состояния x(t).
Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия xp, если при начальном отклонении от положения равновесия xp не более, чем на δ, траектория движения отклоняется от xp не более, чем на ε, причем для каждого ε можно найти соответствующее ему δ(ε):
при всех t > 0. Фактически это означает, что чем меньше начальное отклонение, тем меньше траектория движения отклоняется от положения равновесия.
Если кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, то есть,
система называется асимптотически устойчивой в положении равновесия xp.
Очевидно, что асимптотическая устойчивость – более сильное требование. Положения равновесия, которые устойчивы по Ляпунову, но не асимптотически устойчивы, иногда называются нейтрально устойчивыми (маятник без трения, ванна с водой).
Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивости Ляпунова. Это значит, что существует такое ε > 0, что траектория x(t) выходит за границы области 
при сколь угодно малом отклонении начального состояния x0 от положения равновесия xp. Например, система переходит в другое положение равновесия, или x (t) неограниченно возрастает.
На рисунке 5.4 показаны движения устойчивой, асимптотически устойчивой и неустойчивой систем первого порядка (с одной координатой x (t)).
Рисунок 5.4 – К понятию устойчивости по Ляпунову
Линейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощают анализ устойчивости:
• автономная линейная система (на которую не действуют внешние силы) может иметь единственное положение равновесия (в котором все сигналы равны нулю) или бесконечно много положений равновесия (шарик на плоской поверхности);
• устойчивость – это свойство линейной системы, а не отдельного положения равновесия: или все ее движения устойчивы (асимптотически устойчивы), или все неустойчивы;
• асимптотическая устойчивость линейной системы «в малом» сразу означает ее устойчивость «в целом», то есть, при любых отклонениях от положения равновесия;
• асимптотически устойчивая система также обладает устойчивостью «вход-выход», а просто устойчивая (нейтрально устойчивая, не асимптотически устойчивая) – нет.
Таким образом, для линейных систем может быть сформулировано следующее условие устойчивости: система устойчива, если после сколь угодно малых внешних воздействий она приходи в установившиеся состояние.
Ввиду сложности автоматических систем для оценки их устойчивости только физических представлений недостаточно. Для этого необходимо применение математического аппарата. Поэтому рассмотрим, в чем состоит особенность математической трактовки устойчивости автоматических систем.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 56; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!