Критерий устойчивости Гурвица
Этот критерий является алгебраическим и связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые при этом накладываются на коэффициенты этого уравнения. Этот критерий был впервые предложен математиком А. Гурвицем в 1895 году и назван в его честь.
Он может быть сформулирован следующим образом. Из коэффициентов характеристического многочлена передаточной функции системы (4.29)
(5.11)
составляется определитель Гурвица:
. (5.12)
Этот определитель составляется следующим образом: все коэффициенты характеристического многочлена от 
до 
располагают по главной диагонали в порядке возрастания индексов. Затем определитель заполняют по столбцам: выше диагональных коэффициентов записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а ниже – с убывающими. При достижении нулевого или n-го индекса далее ставятся нули.
Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Система с характеристическим многочленом (5.11) будет устойчивой, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны:
.
Каждый диагональный минор 
определителя Гурвица получается из предыдущего минора 
путем вычеркивания нижней строки и правого столбца.
В качестве примера рассмотрим применение критерия Гурвица для определения устойчивости системы с характеристическим многочленом
.
Составим определитель Гурвица и его диагональные миноры.
|
|
|
.
Целесообразно начать рассмотрение с конца, то есть в порядке возрастания номера минора.
.
Остальные определители можно не подсчитывать, так как отрицательное значение 
уже свидетельствует о неустойчивости системы.
Рассмотрим другой пример, для которого характеристический многочлен имеет вид
.
Составляем определитель Гурвица
.
Также определим значения миноров.
.
Отсюда видно, что определитель Гурвица и его диагональные миноры положительны. Следовательно, исследуемая система устойчива.
На практике критерий Гурвица обычно применяется для проверки устойчивости систем невысокого порядка, так как при достаточно высоком порядке характеристического многочлена вычисления становятся громоздкими.
Дата добавления: 2016-01-04; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!