ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
Объект исследования: волновое уравнение.
Результаты, полученные автором: получено решение задачи о колебании прямоугольной мембраны, всем точкам которой приданы одинаковые скорости.
Пусть мембрана в состоянии покоя имеет форму прямоугольника, ограниченного прямыми 
Задача о колебании мембраны сводится к решению уравнения
при начальных условиях
с краевыми условиями, заданными на границе прямоугольника
s w:val="28"/></w:rPr><m:t>x, m, t</m:t></m:r></m:e></m:d><m:r><m:rPr><m:sty m:val="p"/></m:rPr><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>=0. (3)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
Решаем задачу методом Фурье: 
.
В результате для отыскания функций 
получены уравнения:
Решения уравнений (5) и (6) имеют вид
При краевых условиях 
получаем 
, где 
- целое число. Только при соблюдении последнего требования уравнение (5) имеет нулевое решение. Из условиях 
следует 
, где 
- целое число. Собственные числа определяются формулами
где 
– любые целые положительные числа. Каждой паре собственных значений соответствуют собственные функции
|
|
|
Тогда уравнение (7) принимает вид 
. Решение этого уравнения обозначим функцией 
, произвольные постоянные, входящие в его общее решение, обозначим 
. Имеем 
, где 
– собственные частоты колебаний мембраны. Тогда 
.
Функция 
описывает собственные колебания мембраны. Каждая из них представляет стоячую волну для прямоугольной мембраны. Запишем формулу (11) в виде
. Видно, что каждая точка мембраны совершает простое гармоническое колебание с частотой 
и амплитудой 
.
При колебании мембраны контур ее остается неподвижным. Так как внутри прямоугольника 
, то функции 
положительны и все точки мембраны одновременно находятся то по одну сторону плоскости 
, то по другую. Наибольшую амплитуду колебаний будет иметь точка, для которой 
, т.е точка 
центр мембраны. Также как и для струны такие точки называются пучностями. Линии, точки которых не колеблются, называются узловыми линиями.
Решение, удовлетворяющее начальным условиям (2) имеет вид
, где коэффициенты разложений находятся из начальных условий (2).
Решение задачи о колебаниях прямоугольной мембран, всем точкам которой приданы начальные скорости получено в виде
.
Материал поступил в редколлегию 24.04.17
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 479; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!