Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Для дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами вида уравнения (11) существует более простой способ нахождения частного решения , если правая часть имеет так называемый «специальный вид»:
, | (5) |
где – постоянные, , – многочлены степени n и m соответственно.
Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (2) следующий:
1. Найти корни характеристического уравнения (4).
2. Сравнить заданную правую часть уравнения (2) с общим видом выражения (5), при котором применим метод неопределенных коэффициентов, и найти из этого сопоставления три числа: , .
3. Сравнить контрольное комплексное число с корнями характеристического уравнения и найти число корней r, совпавших с этим комплексным числом (если таких корней нет, то r = 0).
4. Записать частное решение неоднородного уравнения (2) в виде
,
где и – многочлены одной и той же степени l, но с неопределёнными и различными коэффициентами.
5. Для нахождения неопределенных коэффициентов подставить записанное в п. 4 частное решение в исходное уравнение и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. В результате получают систему уравнений, из которой находят значения неопределенных коэффициентов.
Примечания:
1. Если правая часть уравнения (2) имеет более простой вид: , то частное решение ищут в виде .
|
|
2. Правая часть уравнения может содержать только функцию вида или функцию вида , но частное решение следует искать в полной форме, содержащей и и .
Пример 6. Найти общее решение уравнения
Решение: общее решение уравнения будем искать в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения , – частное решение неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение имеет корни и . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов:
1. Корни характеристического уравнения и .
2. , т.е. , ; , и – многочлены нулевой степени, .
3. Число – корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому r = 1.
4. Частное решение следует искать в виде .
5. Подставим в исходное уравнение:
, );
;
;
; ;
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид .
Ответ: .
Пример 7. Решить уравнение .
Решение: общее решение уравнения будем искать в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения , – частное решение неоднородного уравнения.
Составим характеристическое уравнение: , найдем его корни: и . Общее решение однородного уравнения имеет вид .
|
|
Частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов.
1. Корни характеристического уравнения и .
2. , , ; ; , ; , ; .
3. . Совпадений с корнями характеристического уравнения нет, следовательно, r = 0.
4. Частное решение исходного уравнения следует искать в виде .
5. Подставим в исходное уравнение:
=
= ;
= ;
+ = ;
;
.
.
Общее решение уравнения имеет вид .
Ответ: .
Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 168; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!