Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью подстановки данное ДУ сводится к уравнению более низкого порядка.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. .

Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение: ;

;

Ответ: .

II. Если дифференциальное уравнение порядка имеет вид , т.е. не содержит искомой функции и ее производных до порядка включительно, то порядок уравнения может быть понижен с помощью подстановки .

Пример.2. Решить уравнение .

Решение: уравнение не содержит y и y ¢, поэтому порядок уравнения понижается до первого с помощью подстановки (при этом ).

Уравнение принимает вид – линейное уравнение первого порядка. Решая его методом подстановки или методом вариации, находим .

Возвратимся к исходной переменной: . Два раза проинтегрировав последнее выражение, найдем общее решение исходного уравнения:

III. Если уравнение не содержит независимой переменной, т.е. имеет вид , то порядок уравнения понижается на единицу с помощью замены . При этом y рассматривается как новая независимая переменная, а p – как новая неизвестная функция, производные выражаются через p и производные функции p по y.

Выразим, например, . Поскольку , то

Аналогично выражается : .

Пример 3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение: примем y за новую независимую переменную, а – за новую неизвестную функцию. Тогда , и данное уравнение в новых переменных примет вид

– уравнение с разделяющимися переменными.

Произвольную константу определяем, используя начальные условия , . Подставляя эти условия в найденное решение, получаем =0. Поэтому , или , т.е. .

Данным начальным условиям может удовлетворять только решение уравнения (в случае при )

Общее решение уравнения дается формулой . Из условия следует, что , и искомым решением будет .

Ответ: .

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение вида

(1)

Далее будем предполагать, что коэффициенты и определены и непрерывны при .

Если на интервале , то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка):общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного ДУ и частного решения неоднородного дифференциального уравнения: .

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка): общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка представляется в виде линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:

где – произвольные постоянные, – частные линейно независимые решенияоднородного уравнения, т.е. такие решения, для которых составленный из них определитель Вронского (вронскиан) не равен нулю:

n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решенийэтого уравнения.

Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то согласно методу Лагранжа (методу вариации произвольных постоянных), решение соответствующего неоднородного уравнения можно найти в виде

где неизвестные функции определяются из системы уравнений

В частности, для уравнения второго порядка эта система принимает вид

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядкас постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(2)

где – некоторые числа.

Построение фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами

(3)

имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех x, структура которой зависит от вида корней характеристического уравнения

(4)

Каждому действительному простому корню характеристического уравнения (13) соответствует решение , входящее в фундаментальную систему.

Если уравнение (13) имеет простой комплексный корень , то сопряженное число тоже будет корнем уравнения, и корням , соответствуют два линейно-независимых частных решения и , входящих в фундаментальную систему.

Действительному корню уравнения (13), имеющему кратность p , соответствует p линейно-независимых частных решений , , ,..., , входящих в фундаментальную систему.

p -кратным комплексно-сопряженным корням и соответствует 2p линейно-независимых решений вида

, , ,..., ,

входящих в фундаментальную систему.

Таким образом, для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, надо найти корни характеристического уравнения, а затем выписать линейно-независимые решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (4). Линейная комбинация этих решений дает общее решение уравнения (3).

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение: общее решение имеет вид

Составим и решим характеристическое уравнение .

;

, .

Таким образом, характеристическое уравнение имеет корни: – корень кратности 2, ему отвечают два линейно-независимых решения и ; – пара комплексно-сопряженных корней, им соответствуют решения и .

Общее решение исходного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 5. Решить неоднородное уравнение .

Решение:

1). Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому – общее решение однородного уравнения.