Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью подстановки данное ДУ сводится к уравнению более низкого порядка.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. .
Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: ;
;
;
;
;
.
Ответ: .
II. Если дифференциальное уравнение порядка имеет вид , т.е. не содержит искомой функции и ее производных до порядка включительно, то порядок уравнения может быть понижен с помощью подстановки .
Пример.2. Решить уравнение .
Решение: уравнение не содержит y и y ¢, поэтому порядок уравнения понижается до первого с помощью подстановки (при этом ).
Уравнение принимает вид – линейное уравнение первого порядка. Решая его методом подстановки или методом вариации, находим .
Возвратимся к исходной переменной: . Два раза проинтегрировав последнее выражение, найдем общее решение исходного уравнения:
III. Если уравнение не содержит независимой переменной, т.е. имеет вид , то порядок уравнения понижается на единицу с помощью замены . При этом y рассматривается как новая независимая переменная, а p – как новая неизвестная функция, производные выражаются через p и производные функции p по y.
|
|
Выразим, например, . Поскольку , то
.
Аналогично выражается : .
Пример 3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
Решение: примем y за новую независимую переменную, а – за новую неизвестную функцию. Тогда , и данное уравнение в новых переменных примет вид
– уравнение с разделяющимися переменными.
,
.
Произвольную константу определяем, используя начальные условия , . Подставляя эти условия в найденное решение, получаем =0. Поэтому , или , т.е. .
Данным начальным условиям может удовлетворять только решение уравнения (в случае при )
Общее решение уравнения дается формулой . Из условия следует, что , и искомым решением будет .
Ответ: .
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядканазывается уравнение вида
. | (1) |
Далее будем предполагать, что коэффициенты и определены и непрерывны при .
Если на интервале , то уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка):общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного ДУ и частного решения неоднородного дифференциального уравнения: .
|
|
Теорема (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка): общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка представляется в виде линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:
где – произвольные постоянные, – частные линейно независимые решенияоднородного уравнения, т.е. такие решения, для которых составленный из них определитель Вронского (вронскиан) не равен нулю:
.
n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка образуют фундаментальную систему решенийэтого уравнения.
Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то согласно методу Лагранжа (методу вариации произвольных постоянных), решение соответствующего неоднородного уравнения можно найти в виде
,
где неизвестные функции определяются из системы уравнений
В частности, для уравнения второго порядка эта система принимает вид
|
|
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядкас постоянными коэффициентами называется уравнение вида
, | (2) |
где – некоторые числа.
Построение фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами
. | (3) |
имеет фундаментальную систему решений , определенную при всех x, структура которой зависит от вида корней характеристического уравнения
. | (4) |
Каждому действительному простому корню характеристического уравнения (13) соответствует решение , входящее в фундаментальную систему.
Если уравнение (13) имеет простой комплексный корень , то сопряженное число тоже будет корнем уравнения, и корням , соответствуют два линейно-независимых частных решения и , входящих в фундаментальную систему.
Действительному корню уравнения (13), имеющему кратность p , соответствует p линейно-независимых частных решений , , ,..., , входящих в фундаментальную систему.
p -кратным комплексно-сопряженным корням и соответствует 2p линейно-независимых решений вида
|
|
, , ,..., ,
, , ,..., ,
входящих в фундаментальную систему.
Таким образом, для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, надо найти корни характеристического уравнения, а затем выписать линейно-независимые решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным корням уравнения (4). Линейная комбинация этих решений дает общее решение уравнения (3).
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Решение: общее решение имеет вид
Составим и решим характеристическое уравнение .
;
, .
Таким образом, характеристическое уравнение имеет корни: – корень кратности 2, ему отвечают два линейно-независимых решения и ; – пара комплексно-сопряженных корней, им соответствуют решения и .
Общее решение исходного уравнения имеет вид .
Ответ: .
Пример 5. Решить неоднородное уравнение .
Решение:
1). Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому – общее решение однородного уравнения.
2). Общее решение исходного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде .
Функции и находим из системы
Решая систему, получаем: , .
Интегрируя, находим:
;
,
где – произвольные постоянные.
Общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Упростив это выражение, получим
.
Ответ: .
Дата добавления: 2018-09-20; просмотров: 612; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!